设O是锐角三角形ABCde外心,已知三角形BOC,三角形coa ,aob的面积依次成等差数列.判断tanA tanc是否为定值说明理由

设O是锐角三角形ABCde外心,已知三角形BOC,三角形coa ,aob的面积依次成等差数列.判断tanA tanc是否为定值说明理由
设O是锐角三角形ABCde外心,已知三角形BOC,三角形coa ,aob的面积依次成等差数列.
判断tanA tanc是否为定值说明理由

设O是锐角三角形ABCde外心,已知三角形BOC,三角形coa ,aob的面积依次成等差数列.判断tanA tanc是否为定值说明理由
利用三角形面积=任意两邻边的乘积*这两个邻边的夹角/2.所以例如三角形BOC的面积=(OB*OC*sinBOC)/2.又因为O为三角形外心的圆心,所以OB=OC=OA=R.三角形圆心角等于圆周角的二倍,所以角BOC=2角A.
所以三角形BOC的面积=(R^2sin2A)/2,根据等差数列性质,AOC面积的二倍=AOB与BOC的面积之和,所以sin2A+sin2C=2sin2B,而2sin2B=-2sin2(A+C)=-2sin(A+C)cos(A+C),sin2A+sin2C=2sin(A+C)cos(A+C).代入原式化简得cos(A-C)=-2cos(A+C),进一步化简得cosAcosC+sinAsinC=-2(cosAcosC-sinAsinC),所以3cosAcosC=sinAsinC,所以tgAtgC=1/3.