作业帮已知数列{an-n}是等比数列,且满足a1=2,a(n+1)=3an-2n+1,n∈N+.（1）求数列{an}的通项公式an（2）求数列{an}的前n项和Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 05:29:43
已知数列{an-n}是等比数列,且满足a1=2,a(n+1)=3an-2n+1,n∈N+.（1）求数列{an}的通项公式an（2）求数列{an}的前n项和Sn
已知数列{an-n}是等比数列,且满足a1=2,a(n+1)=3an-2n+1,n∈N+.
（1）求数列{an}的通项公式an
（2）求数列{an}的前n项和Sn
已知数列{an-n}是等比数列,且满足a1=2,a(n+1)=3an-2n+1,n∈N+.（1）求数列{an}的通项公式an（2）求数列{an}的前n项和Sn
解: (1) 由题可知 a(n+1）-(n+1)=3an-3n
即a(n+1）-(n+1)=3(an-n)
所以 q=【a(n+1）-（n+1)】/(an-n)=3
所以 数列{an-n} 是以 1 为首项,3为公比的等比数列
所以 an-n=3^(n-1)
所以数列{an}的通项公为 an=3^(n-1)+n
(2) Sn=2+5+.+【3^(n-2) +n-1】+3^(n-1)+n】
=1+3+.+3^(n-2)+3^(n-1）+1+2+.+n ①
3Sn=3+3^2+.+3^(n-1)+3^n+3(1+2+.+n) ②
②-①得
2Sn=3^n-1+2(1+2+.+n)
=3^n-1+n(n+1)
所以数列{an}的前n项和 Sn=(3^n-1)/2+n(n+1)/2
这个貌似有点复杂，
a(n) - 3 * a(n - 1) = -(2n - 3),
3 * a(n-1) - 3^2 * a(n - 2) = - (2n - 5)
,...,
3^(n-2) * a2 - 3^(n-1) * a1 = -1,
就是每个都连续乘以3再累加可得
a(n) - 3^(n - 1) * a1 =
-(1 * 3...
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这个貌似有点复杂，
a(n) - 3 * a(n - 1) = -(2n - 3),
3 * a(n-1) - 3^2 * a(n - 2) = - (2n - 5)
,...,
3^(n-2) * a2 - 3^(n-1) * a1 = -1,
就是每个都连续乘以3再累加可得
a(n) - 3^(n - 1) * a1 =
-(1 * 3^(n-2) + 3 * 3^(n-3)+...+(2n-3))
= n - 3^(n - 1)
可得
an = n + 3^(n - 1),
Sn易得，只要等差等比
PS：上面一大串式子的求和只要乘公比做差即可，这种式子的求和在高中数列中很基本
收起
我用数学公式编辑器编辑的 三楼的是正确的，之前没注意看 我就不累赘了
由a(n+1)=3an-2n+1得
a2=3a1-2+1=5 故a2-2=3
由于数列{an-n}是等比数列 故公比为(a2-2)/(a1-1)=3,首项为1
所以an-n=3^(n-1) 即 an=n+3^(n-1)
(2)
对an中n和3^(n-1)分别求和再相加得 Sn=n(n+1)/2+(（3^n）-1)/2