a,b,c为实数.证明:(a+b+c)^2,(a+b-c)^2,(b+c-a)^2,(c+a-b)^2这四个代数值中至少有一个不小于a^2+b^2+c^2的值,也至少有一个不大于a^2+b^2+c^2的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 23:14:52
![a,b,c为实数.证明:(a+b+c)^2,(a+b-c)^2,(b+c-a)^2,(c+a-b)^2这四个代数值中至少有一个不小于a^2+b^2+c^2的值,也至少有一个不大于a^2+b^2+c^2的值.](/uploads/image/z/7114681-1-1.jpg?t=a%2Cb%2Cc%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0.%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%EF%BC%88a%EF%BC%8Bb%EF%BC%8Bc%EF%BC%89%EF%BC%BE2%2C%EF%BC%88a%EF%BC%8Bb%EF%BC%8Dc%EF%BC%89%EF%BC%BE2%2C%EF%BC%88b%EF%BC%8Bc%EF%BC%8Da%EF%BC%89%EF%BC%BE2%2C%EF%BC%88c%EF%BC%8Ba%EF%BC%8Db%EF%BC%89%EF%BC%BE2%E8%BF%99%E5%9B%9B%E4%B8%AA%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%80%BC%E4%B8%AD%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%B0%8F%E4%BA%8Ea%EF%BC%BE2%EF%BC%8Bb%EF%BC%BE2%EF%BC%8Bc%EF%BC%BE2%E7%9A%84%E5%80%BC%2C%E4%B9%9F%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%A4%A7%E4%BA%8Ea%EF%BC%BE2%EF%BC%8Bb%EF%BC%BE2%EF%BC%8Bc%EF%BC%BE2%E7%9A%84%E5%80%BC.)
a,b,c为实数.证明:(a+b+c)^2,(a+b-c)^2,(b+c-a)^2,(c+a-b)^2这四个代数值中至少有一个不小于a^2+b^2+c^2的值,也至少有一个不大于a^2+b^2+c^2的值.
a,b,c为实数.证明:(a+b+c)^2,(a+b-c)^2,(b+c-a)^2,(c+a-b)^2这四个代数值中至少有一个不小于a^2+b^2+c^2的值,也至少有一个不大于a^2+b^2+c^2的值.
a,b,c为实数.证明:(a+b+c)^2,(a+b-c)^2,(b+c-a)^2,(c+a-b)^2这四个代数值中至少有一个不小于a^2+b^2+c^2的值,也至少有一个不大于a^2+b^2+c^2的值.
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc (1)
(a+b-c)²=a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc (2)
(a-b+c)²=a²+b²+c²-2ab+2ac-2bc (3)
(-a+b+c)²=a²+b²+c²-2ab-2ac+2bc (4)
分别减a²+b²+c²
(1)=2ab+2ac+2bc
(2)=2ab-2ac-2bc
(3)=-2ab+2ac-2bc
(4)=2ab-2ac+2bc
令(1),(2),(3),(4)同时大于0
则ab>-2ac-2bc
且ab>+2ac+2bc
且ab>-2ac+2bc
且ab>+2ac-2bc
且ac>-ab-ac
...
且bc>-2ac-2ab
...
a,b,c 不同时为0时
以上结果相互矛盾,所以这四个代数值中至少有一个不大于a²+b²+c²
令(1),(2),(3),(4)同时小于0
可证这四个代数值中至少有一个不小于a²+b²+c²
敢不敢用反证法????
全小于
(a+b+c)^2+(a+b-c)^2+(c+a-b)^2+(c+b-a)^2<4(a^2+b^2+c^2)
展开4(a^2+b^2+c^2)<4(a^2+b^2+c^2)
显然不成立同理全大于也不成立