非欧几何的产生与发展的数学历史能否稍加概括，最好谈点启示。要简洁一点

非欧几何的产生与发展的数学历史能否稍加概括，最好谈点启示。要简洁一点
非欧几何的产生与发展的数学历史
能否稍加概括，最好谈点启示。要简洁一点

非欧几何的产生与发展的数学历史能否稍加概括，最好谈点启示。要简洁一点
楼主给分呀!
1..非欧几何的发展史
1、1问题的提出
非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的,它的内容是“若一条直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”、这一公设引起了广泛的讨论,因为它不如其他公理、公设那样简明,欧几里得本人也不满意这条公设,他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它,怀疑它可能不是一个独立的公设,或许能用其它公设或公理代替,从古希腊时代开始到19世纪的2000多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀,孜孜不倦的试图解决这个问题,数学家们主要沿2条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9条公理、公设推导出平行公设来,沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795年苏格兰数学家普雷菲尔(J,Playfair1748—1819)给出的：“过直线外一点,有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理,但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5世纪就陈述过它．然而问题是,所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受,更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫(Ptolemy,约公元150年)做出的,后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行,这就是上面提到的普雷菲尔公设
1．2问题的解决
1．2．1非欧几何的萌芽
沿第二条途径论证第五公设的工作在18世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里(Sacchairn1667—1733)提出用归谬法证明第五公设,萨凯里从四边形ABCD开始,如果角A和角是直角,且AC=BD,容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断．萨凯里提出另2个假设：(1)钝角假设：角C和角D都是钝角；(2)锐角假设：角C和角D都是锐角．最后在锐角假设下,萨凯里导出了一系列结果,因为与经验认识违背,使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法,开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特(Lambetr1728—1777)所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形,其中3个角为直角,而第5个角有3种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾,就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德(A．M、Legendar1752—1833)对平行公设问题也十分关注,他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”,这预示着可能存在着一种新几何,19世纪初,德国人萨外卡特(schweikart1780—1859)使这种思想更加明朗化,他通过对“星形几何”的研究,指出：“存在两类几何：狭义的几何(欧氏几何)星形几何,在后一个里面,三角形有一个特点,就是三角形内角之和不等于两直角”,
1．2,2非欧几何的诞生
前面提到的一些数学家尤其是兰伯特,都是非欧几何的先驱,但是他们都没有正式提一种新几何并建立其系统的理论,而著名的数学家高斯(Gauss1777—1855)、波约(Bolyai1802—1860)、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky1793—1856)就这样做了,成为非欧几何的创始人,高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的人,早在1792年他就已经有一种思想,去建立一种逻辑几何学,其中欧几里得第五公设不成立．1794年高斯发现在他的这种几何中,四边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的差,并由此导出三角形的面积不超过一个常数,无论其顶点相距多远．后来他进一步发展了他的新几何,称之为非欧几何．他坚信这种几何在逻辑上是无矛盾的,并且是真实的,能够应用的,为此他还测量了3
个山峰构成的三角形内角,他相信内角和的亏量只有在很大的三角形中才能显露出．但他的测量因为仪器的误差而宣告失败．遗憾的是高斯在生前没有任何关于非欧几何的论著．人们是在他逝世后,从他与朋友的来往函件中得知了他关于非欧几何的研究结果和看法．
2..非欧几何发展史的启示
非欧几何的诞生,是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤．在这里我们将沿着事物的历史发展过程来叙述这一历史的重要意义．M．克莱茵(M．Klein)在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么厉害．当时萨凯里曾拒绝过欧氏几何的奇异定理,并且断定欧氏几何是唯一正确的．但在一百年后,高斯、罗巴切夫斯基和波约满怀信心地接受了新几何”．
2．1对数学学科本身
2．1．1数学发展的相对独立性
通过逻辑演绎法建立的非欧几何体系为数学的发展提供了一种模式,使人们清楚地看到数学可以有自己的逻辑体系存在,从而独立发展．数学发展的相对独立性突出表现为：数学理论的发展往往具有超前性,它可以独立于物理世界而进行,可以超前于社会实践,并反作用于社会实践,推动数学乃至于整个科学向前发展．19世纪前,数学始终与应用数学紧密结合在一起,即数学不能离开实用学科而独立发展,研究数学的最终目的是为了解决实际问题,但是非欧几何第一次使数学的发展领先于实用科学,超越人们的经验,非欧几何为数学创造了一个全新的世界：人类可以利用自己的思维,按照数学的逻辑要求自由自在的进行思考．于是数学被认为应当是那些并不是直接地或间接地由于研究自然界的需要而产生出来的任意结构．这种观点逐渐被人们了解,于是造成了今天的纯粹数学与应用数学的分裂LlJ．
2．1．2数学的本质在于它的充分自由
非欧几何的创立,使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同．数学家创造m几何理论,然后由此决定他们的空间观,这种建立在数学理论基础上的空间观、自然观,一般并不能否定客观世界的存在等内容,它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造．物质世界现实与这种现实的理论,永远是两回事．正因为如此,人类探索知识、建立理论的认识活动才永远没有尽头．非欧几何的创立使人们认识到数学是人的精神的创造物,而不是对客观现实的直接临摹,这样就使数学获得了极大的白南,同时也使数学丧失了对现实的确定性．数学从自然界和科学中解脱出来,继续着它自己的行程．对此,M．克莱茵说：“数学史的这一阶段,使数学摆脱了与现实的紧密联系,并使数学本身从科学中分离出来了,就如同科学从哲学中分离出来,哲学从宗教中分离出来,宗教从万物有灵论和迷信中分离出来一样．现在可以利用乔治．康托的话了：‘数学的本质在于它的充分自由”’．
2．1．3几何观念的更新
非欧几何的出现打破了欧氏几何一统天下的局面,使几何学的观念得到更新．传统欧氏几何认为空间是唯一的,而非欧几何的出现打破了这种观念,促使人们对欧氏几何乃至整个几何学的基础问题作深人探讨．
2．2文化教育方面
2．2．1非欧几何是敢于向传统挑战、勇于为科学献身的人类精神的产物高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何,但3人对待新几何的态度是不同的．高斯很早就意识到了新几何的存在,但他没有向世人公布他的新思想,他受康特(Kant)唯心思想的影响,不敢向传统几何学界达2000a之久的欧氏几何挑战,以致推迟了非欧几何的诞生．波约致力于平行公设的研究,终于发现了新几何．这其中还有一个故事,当高斯决定将自己的发现秘而不宣时,波约却急切的想通过高斯的评价将自己的研究公诸于世,然而高斯回信给他的父亲F波约中说：“夸奖他就等于称赞我自己．整篇文章的内容,你儿子采取的思路和获得的结果,与我在30至35年前的思考不谋而合”],波约对高斯的回答深感失望.认为高斯想剽窃自己的成果,�在两条直线和已知直线平行”.那么是否存在这样的几何“过直线外一点,不能做直线和已知直线平行”?黎曼几何就回答了这个问题.
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的.他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在,开创了几何学的一片新的广阔领域.
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点).在黎曼几何学中不承认平行线的存在,它的另一条公设讲：直线可以无限延长,但总的长度是有限的.黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面.
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用.在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何.在广义相对论里,爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念,他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的,但是整个时空却是不均匀的.在物理学中的这种解释,恰恰是和黎曼几何的观念是相似的.
此外,黎曼几何在数学中也是一个重要的工具.它不仅是微分几何的基础,也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面.
公设的不同
同一直线的垂线和斜线相交.
垂直于同一直线的两条直线互相平行.
存在相似的多边形.
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆.
罗氏几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交.
垂直于同一直线的两条直线,当两端延长的时候,离散到无穷.
不存在相似的多边形.
过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆.
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到,这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾.所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受.但是,数学家们经过研究,提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的.
1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现.这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾.
人们既然承认欧几里得是没有矛盾的,所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了.直到这时,长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究,罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美,他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”.
三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何.这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系,各公理之间满足和谐性、完备性和独立性.因此这三种几何都是正确的.
在我们这个不大不小、不远不近的空间里,也就是在我们的日常生活中,欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界,罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中,黎曼几何更准确一些.
找的好累呀.楼主一定要给分. 我把回答分成了好几段.你一天看一点不就得了.累的够呛.分不给我就太没人性了.

你好，百度百科里有相关的内容，这是链接：（复制的我看着觉得头大）
http://baike.baidu.com/view/17594.htm
我们80后，90后所学的初中高中的几何就是非欧几里得几何学的简单版，他融入生活的内容比较多，而且通俗易懂，容易接受。还有比如公理、定理等几何里的词语都是从他那传出来的。...

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你好，百度百科里有相关的内容，这是链接：（复制的我看着觉得头大）
http://baike.baidu.com/view/17594.htm
我们80后，90后所学的初中高中的几何就是非欧几里得几何学的简单版，他融入生活的内容比较多，而且通俗易懂，容易接受。还有比如公理、定理等几何里的词语都是从他那传出来的。

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几何的研究对象是图形，人类最初的几何知识，来源于对空间图形的直观了解，带有浓厚的直观性．对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，是在对图形 ( 地块 ) 的测量中获得的经验知识的积累，是一种经验几何．
但是，直观性并不一定可靠，经验几何知识掺杂着个人主观因素，而且是零碎的、具体的，不便学习和推广应用．只是在经过希腊的哲人们，从 Thales( 约前 642 —约前 547) ， Pyt...

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几何的研究对象是图形，人类最初的几何知识，来源于对空间图形的直观了解，带有浓厚的直观性．对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，是在对图形 ( 地块 ) 的测量中获得的经验知识的积累，是一种经验几何．
但是，直观性并不一定可靠，经验几何知识掺杂着个人主观因素，而且是零碎的、具体的，不便学习和推广应用．只是在经过希腊的哲人们，从 Thales( 约前 642 —约前 547) ， Pythagoras( 约前 580 —约前 500) 到 Eudoxus( 约前 400 —前 347) ， Aristotle( 公元前 384 —前 322) 等几代人的理性思考，才将经验几何发展为演绎几何，而 Euclid 《几何原本》就是这一理性思考的总结．
从经验几何到演绎几何是一个飞跃，演绎几何的基本点是，尽可能排除对直观性的依赖，对几何图形的性质进行抽象的、纯理性的思考．
Euclid 在《原本》中精心挑选出点、线、面等 23 个定义、 5 个公设 ( 几何公理 ) 和关于量的 5 个公理，以此为理论的出发点，逻辑地推导出 460 多个定理，形成一个严密的演绎理论体系．在这里，作为定义的基本概念，点、线、面、直角等，已不是哪一个具体图形，而是抽象的一般概念．推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法．
Euclid 的成功之处在于，用这样少的公理，令人信服地推出了这么多定理，而且它们与现实世界又是如此地一致．因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”，并把它奉为金科玉律．
2 ．从欧氏几何到非欧几何
整个欧氏几何的理论大厦，建筑在 5 条几何公理 ( 公设 ) 的基础之上，这 5 条公理是：
(1) 从任一点到另外一点能作一条直线 ( 简言之，即通过任意两点可作一条直线 ) ；
(2) 任何一条有限直线可以沿着直线不断延长；
(3) 以任意一点为中心，任一距离为半径能作一圆；
(4) 凡直角皆相等；
(5) 若一条直线与两直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那么不加限制地延长这两条直线，必在该侧相交于一点．
前四条公理都十分简明，容易为人们经验所检验．而第五条 ( 称“第 5 公设” ) 却显得冗长繁琐，不易检验．历代都有人想把它当作定理由其他 4 条公理推证出来，从而将它排除在公理之外．其结果虽然都归于失败，但却推得若干与它等价的命题，其中 Playfair(1748 — 1819) 提出的等价命题最为著名：
(5 抇 ) 过一点能作一条且只能作一条直线，平行于给定的直线．不少教科书( 包括我国现行中学几何课本 ) 都用它来代替第 5 公设，并把它称为“平行公理”或“欧几里得公理”，因为它反映了欧氏几何的本质特征．在19 世纪数学自我更新的变革中， Lobatchevsky 和 Bolyai 先后以平行公理的否定形式，提出新公理：
(5 拻 ) 过一点能作不止一条直线平行于给定的直线．他们并用(5 拻 ) 与欧几里得其他四条公理为基础，推出一个新的演绎几何体系——非欧几何 ( 双曲型几何 ) ．在这个新几何中，与平行公理无关的命题与欧氏几何一致；与平行公理有关的定理则被新的定理代替，其中有一些新定理与人们的直接经验相矛盾．诸如：“三角形三内角之和小于 180 °”，“两三角形若三组对应角分别相等，则必全等”等．尽管如此，罗氏几何在逻辑上是站得住脚的；何况在宇宙空间中以星球为顶点的大三角形，谁能保证它的三内角之和不小于 180 °呢？紧接着 Riemann 又提出另一种类型的非欧几何 ( 椭圆型几何 ) 它用以下新公理来代替平行公理：
(5 拻抇 ) 任何两条直线均相交 ( 即不存在平行线 ) ．非欧几何中涉及与平行公理有关的一些定理，与人们的经验相抵触，所以，在非欧几何诞生之初，它并不被一般人所理解．后来，Gauss 和 Riemann 创立曲面几何学， Klein 创用变换群给几何学分类， Hilbert 建立数学公理化方法，终于使欧氏几何和非欧几何在更高的观点下统一起来

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http://baike.baidu.com/view/17594.htm
非欧几何发展简史及其启示
几何学的发源可以追溯的古埃及，几何学的本意是测量的意思，它是古埃及人
进行土
地测量时的各种经验成果的总结。“据希腊历史学家Herodotus说，埃及是因为尼罗河每
年
涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的。” 古希腊人继承和发...

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http://baike.baidu.com/view/17594.htm
非欧几何发展简史及其启示
几何学的发源可以追溯的古埃及，几何学的本意是测量的意思，它是古埃及人
进行土
地测量时的各种经验成果的总结。“据希腊历史学家Herodotus说，埃及是因为尼罗河每
年
涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的。” 古希腊人继承和发展了古埃及的几何
学
，爱奥尼亚学派的领袖和创立人泰勒斯（Thales）和他的学生毕达哥拉斯（Pythagoras
）
等著名的哲学家和数学家用演绎法将古埃及的“试验几何学”改造为“推理几何学”，
晚期的
毕达哥拉斯学派（公元前400年左右）已要求数学结果应当根据明白规定的公理用演绎法
推出。欧几里得（Euclid BC330-BC275）集几何学之大成，将前人分散的几何学成果概
括总结加以系统化，写成了《几何原本》这部影响历史的著作。《几何原本》共十三卷
，
其中五卷为平面几何，五卷为立体几何，三卷为数和比例。欧几里得几何学是科学史上
第
一个公理化演绎系统，欧几里得从二十三个名词定义、五条公理（一切科学所共有的真
理
）、五条公设（只是为某一门科学所接受的第一性原理），共推导出467条定理。《几何
原本》虽然是前人成果的概括总结，“但整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公
理，
明确提出所有的定义，和有条不紊的一系列定理——这是欧几里得所独创的，此外，定
理
的几何原本》的证明有一些遗漏和错误，并且在论证过程中引入了很多没有提出的假定
，
这些假定是因为在图形上看或直观上显然的事实而无意中用上去的。另外，欧几里得时
代
并不十分看重演绎推理，“事实上，希腊人对于从简单演绎法得出的命题是不很看得起
的。
希腊人把那些能从定理直接推出的结果称作系或衍论。Proclus把这种无需非多大力气得
出
的结果陈作横财或红利。”
《几何原本》中的公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一直线与两直线相
交
，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。”
（If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles
onthe same side less than two right angles, the two straight lines, if
producedindefinitely, meet on that side
on which the angles are less than the two right angles. ） 这一公设引起了广泛
的讨论，
因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所
有
不需要平行公设的定理后才使用它。两千多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜
孜
不倦的试图解决这个问题，数学家们主要沿两条研究途径前进：一条途径是寻找一条更
为
自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他九条公理、公设推导出平行公设来
。
但十八世纪以前的两千一百年的历史中，平行公设的研究似乎没有什么进展，以至于一
些
数学家很沮丧，“寻求另一个可接受的公理一替代Euclid公理，或者证明Euclid断言必
然是
一个定理，做这种工作的人是如此之多，又是如此徒劳无功，使得1759年d`Alembert把
平
行公理问题称之为‘几何原理中的家丑’”。
沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795年普雷菲尔（Joseph
Fenn 1748-
1819）给出的：“通过不再直线L上的一给定点P,在P与L的平面上，只有一条直线不与L
相
交。”我们今天中学课本里使用的公理“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平
行”
就来源于此。
沿第二条途径，数学家尝试用直接法和间接法两种方法来证明第五公设。1733
年，意
大利数学家萨克里（Gerolamo Saccheri 1667-1733）出版了《欧几里得无懈可击》（E
uclid
ab Omni Naevo Vindicatus）一书，提出用归谬法证明第五公设，萨克里从四边形ABCD
开
始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D。这样第五公设便等价于角
C和角D是直角这个论断。萨克里提出两个假设：
1、 钝角假设：角C和角D都是钝角。
2、 锐角假设：角C和角D都是锐角。
萨克里自认为这两个假设并用其他九条公里、公设可以导出矛盾，于是就证明
了第五
公设。实际上萨克里的证明过于冗长，不自觉的引入了与第五公设等价的其他假设；或
得
出的结论只是与经验不符，并未得出矛盾。但萨克里的研究为后人提供了帮助，其后J.
兰
伯特（Lambert）、F.K.施魏卡特(Schweikart)和F.A.托里努斯(Taurinus)等人得出结论
，第
五公设不能证明，即它与其他九条公理、公设相互独立；并且注意到，球面上的几何具
有
以钝角假设为基础的几何性质，虚半径球面具有以锐角假设为基础的几何性质。这种结
论
已非常接近非欧几何了。
在前人的基础上，高斯（Gauss 1777-1855）、鲍耶（Bolyai 1802-1860）、罗
巴切
夫斯基（Lobatchevsky 1793-1856）三人都独立地发现了非欧几何（双曲线几何学），
后
两人被认为是非欧几何的创建者，他们都公开发表了自己的论文，而高斯并没有写出过
完
整的推导。由于罗巴切夫斯基一生都为使非欧几何得到承认而努力，为了纪念罗巴切夫
斯
基对发展几何学所做出的贡献，这种非欧几何学被称为罗巴切夫斯基几何学。1854年，
G.F.B.黎曼又建立了另一种形式的非欧几何，即黎曼几何。今天学习非欧几何并不特别
困
难，由于第五公设是独立的，因此选取与第五公设相矛盾的公理可以建立逻辑上相容的
几
何，这种几何就是非欧几何。它有两种形式，如果用“过直线外一点至少可以引两条直
线平
行于已知直线”这个命题代替第五公设，就可得到罗巴切夫斯基几何，即双曲几何；如
果用
“过直线外一点不存在平行于已知直线的直线”这个命题代替第五公设，就可得到黎曼
几何，
即椭圆几何。

从欧几里得几何学到非欧几何学经历了两千多年的历史，人类也从古代进入了
近现代
，这里有一个非常有趣的问题：如果欧几里得复活，他能理解非欧几何吗？我们可以注
意
到欧几里得几何学是从经验上升的理论的，是从现实原型中抽象出来的，从测量土地到
比
较成熟的欧几里得几何学，这一过程经历了比从欧几里得几何学到非欧几何学还要长的
历
史（古埃及在公元前3000年左右就产生了数学，现存的最早的古埃及数学文件是公元前1
7
00左右的草片文书）。今天似乎有一种意见，数学仅仅是一种符号的演算，其中并没有
物
理的意义，但是，非欧几何的发展史却告诉我们，非欧几何之所以诞生，是因为数学家
在
寻找几何公理的物理意义中产生的，“对于这个公理的考虑是基于这样的事实，即它作
为
一个公理，应该是不证自明的真理，因为几何公理是我们关于物质空间的基本事实而且
数
学的和物理学的广大分支都使用欧几里得几何的性质，数学家都想确知他们依赖于真理
。
换言之，平行公理的问题不仅是真正的物理问题，而且是所有能有的基本的物理问题。
”从
这个意义上说，从埃及到欧几里的几何学，再到非欧几何学，其本质并未改变。

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