高等代数,线性代数,证明,迹,行列式.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 22:22:27
高等代数,线性代数,证明,迹,行列式.
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高等代数,线性代数,证明,迹,行列式.
A是正定的,因此存在正交阵C使得:
A=C' D C,这里D是由A的特征值组成的行列式（或者单纯理解为D=diag{a1,a2,a3,a4,……an},其中|A|=a1*a2*……*an,且a1,……,an>0）,考虑到B、C是行列式为1的正交阵:
而tr(AB)=tr(C'DC B)=tr(D CBC')=tr(D B)=a1 b1+a2 b2+……+an bn
这里b1……bn是B的对角线上元素.
这里引入一个性质：n阶实对称矩阵的行列式小于等于它的对角线元素之积,等式成立当且仅当这个矩阵为对角阵.
1/n * tr(AB)=1/n(a1 b1+a2 b2+……+an bn) >= (a1 b1 a2 b2 …… an bn)^(1/n) = det(A)^(1/n)*(b1 b2 b3 …… bn)^(1/n) >= det(A) |B|^(1/n) = det(A)
等号成立当且仅当B为对角阵.
得证.


附：上述性质的证明
设A=（a_i,j）是n阶实对称阵,证明|A|<=a11*a22*……*ann （ij为下脚标）
记X=diag{√a11,√a22,……,√ann},则B=X'AX是n阶实对称正定矩阵,B的对角线元素是1,tr(B)=n特征值均为正的.
|B|= B的特征值之积 <= (B的特征值之和 /n)^n （三角不等式）
考虑到特征值之和等于方阵的迹,tr(B)=n,|B| <= 1
也就是|X'AX|<=1,化简得到|A|<=a11*a22*……*ann

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