作业帮在一次聚会上,每个人都和其他所有人握了一次 手,仅有一个人只和他认识的人握了手.握手的总次数60次（两人握手算一次）,那么这个人在聚会上认识多少人?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 20:36:24
在一次聚会上,每个人都和其他所有人握了一次 手,仅有一个人只和他认识的人握了手.握手的总次数60次（两人握手算一次）,那么这个人在聚会上认识多少人?
在一次聚会上,每个人都和其他所有人握了一次 手,仅有一个人只和他认识的人握了手.握手的总次数60次
（两人握手算一次）,那么这个人在聚会上认识多少人?
在一次聚会上,每个人都和其他所有人握了一次 手,仅有一个人只和他认识的人握了手.握手的总次数60次（两人握手算一次）,那么这个人在聚会上认识多少人?
这题可以用假设法,
因为一个人只和他认识的人握了手的这个人比较特殊,
假设这个人他所认识的人的数量有个限制
假如这个人不认识一个人,那么设除他之外有n个人
每个人和所有人握手一次,那么这个人共握手n-1次
总共有n个人,那么握手的次数就是n*(n-1)
因为二个人彼此握手只能算一次,所以重复计算了一半
因此总的握手次数就是n*(n-1)/260
可得n≥11,且n为整
综上可知n=11,加上特殊的人,所以总共的人数为11+1=12人
所以总共的人数为12人
60/2=30
假设共有n+1个人，其中的n个人都互相握了一次手，另一个人和其他的n个人中的k个人认识，这个人最少认识0个人，最多认识n个人，即 0≤k≤n。
则：
方法1、概率法：n个人中，每两人都相互握手一次，总共有C(n/2)=P(n/2)/P(2/2)=[n*(n-1)]/2；
方法2、数列法：n个人中，第一个人和剩下的(n-1)个人各握手一次，计(n-1)次；第二个人和剩下的(n...
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假设共有n+1个人，其中的n个人都互相握了一次手，另一个人和其他的n个人中的k个人认识，这个人最少认识0个人，最多认识n个人，即 0≤k≤n。
则：
方法1、概率法：n个人中，每两人都相互握手一次，总共有C(n/2)=P(n/2)/P(2/2)=[n*(n-1)]/2；
方法2、数列法：n个人中，第一个人和剩下的(n-1)个人各握手一次，计(n-1)次；第二个人和剩下的(n-2)个人各握手一次，计(n-2)次；……；最后的2个人握手一次，计1次；所以所有的握手次数为1+2+3+……+(n-2)+(n-1)={[1+(n-1)]*(n-1)}/2=[n*(n-1)]/2
得出方法1或方法2所得的结果[n*(n-1)]/2，则所有人的总的握手次数是[n*(n-1)]/2+k=60，所以
[n*(n-1)]/2≤60 解得 [(1-√481)/2]≤n≤[(1+√481)/2]，因为人数只能是正整数，所以1≤n≤11，然后再将n代入[n*(n-1)]/2+k=60，当n=11时，k=5 ；当n=10时，k=15，因为k大于n了，所以舍去，那当n比10小时，k更大于n，所以10以下的人数更不符合题意，所以n=11，所以共有n+1=12人。
方法3，算术法（和方法2思路相同）：
n个人中，第一个人和剩下的(n-1)个人各握手一次，计(n-1)次；第二个人和剩下的(n-2)个人各握手一次，计(n-2)次；……；最后的2个人握手一次，计1次；所以所有的握手次数为1+2+3+……+(n-2)+(n-1)，然后就开始用笔或手指头开始从人数为1开始算起，一个数一个数那么相加：当n=1时，0+k=60，则k=60，大于n，所以舍去；当n=2时，3+k=60 k=57 大于n，所以舍去；……；当n=9时，36+k=60 k=60 大于n，所以舍去；当n=10时，45+k=60 k=15 大于n，所以舍去；当n=11时，55+k=60 k=5 小于11，所以符合题意（n在往12或12以上的数算下去，不用加k，都大于60了，所以也舍去）。所以有11人，再加上仅有的那个人，总共12人。
所以总共有12人。
收起
1+2+3+...+11=66（次） 说明总人数为11+1=12（人）
66-60=6（次）说明这个人和除他外的11个人中6个人没有握手，说明这个人认识11-6=5（人）