已知P(x0,y0)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切能不能不用和离心率有关的知识解 小弟还没学到那里
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 23:28:53
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已知P(x0,y0)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切能不能不用和离心率有关的知识解 小弟还没学到那里
已知P(x0,y0)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,求证:
以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切
能不能不用和离心率有关的知识解 小弟还没学到那里
已知P(x0,y0)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是焦点,求证:以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切能不能不用和离心率有关的知识解 小弟还没学到那里
首先:以椭圆长轴为直径的圆,圆心显然是原点,半径为a,所以方程为:x^2+y^2=a^2;
设F2为右焦点,则F2(c,0),又P(x0,y0),
所以,以PF2为直径的圆,圆心为( (c+x0)/2,y0/2 );
由焦半径公式,可知直径PF2=a-ex0,则半径=(a-ex0)/2;
所以,以PF2为直径的圆的方程为:[x-(c+x0)/2]^2+(y-y0/2)^2=(a-ex0)^2/4;
两个圆:x^2+y^2=a^2和[x-(c+x0)/2]^2+(y-y0/2)^2=(a-ex0)^2/4;
R1-R2=a-(a-ex0)/2=(a+ex0)/2;
而圆心距d^2= (c+x0)^2/4+y0^2/4=(c^2+2cx0+x0^2+y0^2)/4,①
因为P在椭圆上,所以y0^2=b^2-(b^2*x0^2/a^2)
代入①式,得d^2=[c^2+b^2+2cx0+x0^2-(b^2*x0^2/a^2)]/4
整理得:d^2=[a^2+2cx0+(ex0)^2]/4
注意观察:a^2+2cx0+(ex0)^2恰好=(a+ex0)^2,所以d^2=(a+ex0)^2/4
即圆心距d=(a+ex0)/2
也就证得圆心距=半径差,所以两圆向内切,题设得证
如果不懂,请Hi我,
PF2的圆以什么为圆心呢?还有椭圆长轴为直径的圆?