怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 10:50:13
怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.
xTn@~;,PdT=O=rP& n Z П@Ԕw~**Z\Q)O ʋQ/̏5~PF LOz-^AZJhȪQɗ!Ӱ |,"?b$"A8;sro h!0CH-u(AcpxBJ+qCO[lq #|Wn`{!ڞLkh٥ósM\d?ư{w?34\fΠ#7E-'ŷ7T>

怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.
怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.

怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数.
7^n=(6+1)^n二项式展开（太复杂,用百度很难打出来,在纸上就容易多了）,展开后,所有项出最后一项外均有因子6,而最后一项为1,减掉后显然可以整除6,也就整除3了.

二项式定理展开即可

7^n=(6+1)^n,用二项是展开，每一项为B*(6^j),B为常数，j=1……n，因此，当j=0时，该项为1，故7^n-1为6的倍数，自然为3的倍数

(1)当n为奇数时,
7^n-1
=(7-1)*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1]
=6*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1]
=3*2*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1],是3的倍数;
(2)当n为偶数时,
7^n-1
=[...

全部展开

(1)当n为奇数时,
7^n-1
=(7-1)*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1]
=6*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1]
=3*2*[7^(n-1)+7^(n-2)+7^(n-3)+...+7^2+7+1],是3的倍数;
(2)当n为偶数时,
7^n-1
=[7^(n/2)-1][7^(n/2)+1]
如果n/2是奇数,则按照(1)是3的倍数,
如果n/2是偶数,则可依(2)继续做下去,直到n/2=1为止,
从而7^n-1=(7-1)*M=6M,是3的倍数.
所以综合上述,7^n-1必定是3的倍数.

收起

怎么证明（7^n-1)是3的倍数?n是正整数. n为正整数,证明8^2n+1+7^（n+2）是57的倍数 试证明:当n为自然数时,n(2n+1)-2n(n-1)一定是3的倍数 n是大于二的整数,证明(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)是120的倍数 用d（n）表示正整数n的正约数的个数,证明：存在无穷多个正整数n,使得d(n)+d(n+1)+1是3的倍数 若2n-m是3的倍数,试证明：8n*n+10mn-7m*m是9的倍数,其中m,n为整数 假设n是整数,证明n^3+2n是3的倍数 n是所有整数,证明n（n²+5)是3的倍数. 设n是正整数,证明8^(2n+1)+7^(n+2)是57的倍数RT 怎样证明n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)是 30的倍数?(n为一切整数) 请证明：如果n和n+2都是质数,那么n+1是6的倍数 用数学归纳法证明4^n+15n-1n是9的倍数 一道证明极限的题证：(n*n-n+4)/(2n*n+n-4)当n趋于正无穷是的极限为=1/2证法中有一步的放缩为：(n>4时) 1.5*|(n-4)/(2n*n+n-4)|< 3n/(4n*n)这是怎么放的?为什么要这样放?其目标是什么? 若n为奇数,证明n的平方-1是8的整倍数 3的n次方-1不是8的整倍数 无 设N为正整数,且64~n-7~n能被57整除,证明8~2n+1+7~n+2是57的倍数 设n为正整数,且64^n-7^n能被57整除,证明:8^(2n+1)+7^(n+2)是57的倍数. 设n为任意整数,试正:n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数 n属于N*,且为3的倍数,求证：3^n-1是13的倍数.