设O使锐角三角形ABC的外心,若∠C=75°,且△AOB,△BOC,△COA的面积满足S△AOB+S△BOC=根号三S△COA,求∠A

设O使锐角三角形ABC的外心,若∠C=75°,且△AOB,△BOC,△COA的面积满足S△AOB+S△BOC=根号三S△COA,求∠A
设O使锐角三角形ABC的外心,若∠C=75°,且△AOB,△BOC,△COA的面积满足S△AOB+S△BOC=根号三S△COA,求∠A

设O使锐角三角形ABC的外心,若∠C=75°,且△AOB,△BOC,△COA的面积满足S△AOB+S△BOC=根号三S△COA,求∠A
由题意得∠B=180°-∠A-∠C=105°-∠A
设⊙O为△ABC外接圆
令⊙O半径为r,则OA=OB=OC=r
∠AOB=2∠C=150°,∠BOC=2∠A,∠COA=2∠B （圆心角等于二倍的圆周角）
S△AOB=(1/2)(OA x OB x Sin∠AOB)=(1/4)(r^2)
S△BOC=(1/2)(OB x OC x Sin∠BOC)=(1/2)(r^2)Sin(2∠A)
S△COA=(1/2)(OC x OA x Sin∠COA)=(1/2)(r^2)Sin(2∠B)
则(1/4)(r^2)+(1/2)(r^2)Sin(2∠A)=√3 x (1/2)(r^2)Sin(2∠B)
化简得1+2Sin2A=2√3Sin2B=2√3Sin(210°-2∠A)
=2√3(Sin210°Cos2A-Cos210°Sin2A)
=2√3(Sin210°Cos2A-Cos210°Sin2A)
=2√3(√3/2 x Sin2A - 1/2 x Cos2A)
=3Sin2A-√3Cos2A
即1+√3Cos2A=Sin2A
两边平方1+2√3Cos2A+3(Cos2A)^2=(Sin2A)^2=1-(Cos2A)^2
2(Cos2A)^2+√3Cos2A=0
(Cos2A)(√3+2Cos2A)=0
Cos2A=0或者-√3/2
“△ABC为锐角三角形”可得0°

设外接圆半径为r
有面积公式
r^2*1/2+r^2*sin2A=√3r^2*sin2B
1/2+sin2A=√3sin2B
并且 A+B=105
解得A即可