正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.(1) 求证：DF=EF；(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 13:21:02
正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.(1) 求证：DF=EF；(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论
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正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.(1) 求证：DF=EF；(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论
正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.
(1) 求证：DF=EF；
(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论

正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,过点P作PF⊥CD于点F.连接PB,过点P作PE⊥PB且PE交线段CD于点E.(1) 求证：DF=EF；(2) 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论

连接BE、PD,过点P作AD的垂线,垂足为G,

①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点,

∴点O为正方形中心,且AC平分∠DAB和∠DCB,

∵PE⊥PB,BC⊥CE,

∴B、C、E、P四点共圆,

∴∠PEB=∠PCB=45°,∠PBE=∠PCE=45°,

∴∠PBE=∠PEB=45°,

∴△PBE为等腰直角三角形,

∴PB=PE,

在△PAB和△PAD中有：AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°,AP为公共边,

∴△PAB≌△PAD（SAS）,

∴PB=PD,

∴PE=PD,

又∵PF⊥CD,

∴DF=EF；

②∵PF⊥CD,PG⊥AD,且,∠PCF=∠PAG=45°,

∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,

∵四边形DFPG为矩形,

∴PA= √2PG,PC= √2CF,

∵PG=DF,DF=EF,

∴PA= √2EF,

∴PC= √2CF= √2（CE+EF）= √2CE+ √2EF= √2CE+PA,

即,PC、PA、CE满足关系为：PC= √2CE+PA；

（1）延长FP交AB于M，作PN⊥AD于N，则四边形AMPN是正方形，AM=PM=PM=AN。
因为AD=AB，所以，BM=DN；
显然，四边形PFDN是矩形，所以，PF=DN=BM，DF=PN=PM。
因为PB⊥PE，PF⊥CD，所以，角MPB+角EPF=90度，角PEF+角EPF=90度，
所以，角MPB=角PEF，又因为，角BMP=角PFE=90度，
...

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（1）延长FP交AB于M，作PN⊥AD于N，则四边形AMPN是正方形，AM=PM=PM=AN。
因为AD=AB，所以，BM=DN；
显然，四边形PFDN是矩形，所以，PF=DN=BM，DF=PN=PM。
因为PB⊥PE，PF⊥CD，所以，角MPB+角EPF=90度，角PEF+角EPF=90度，
所以，角MPB=角PEF，又因为，角BMP=角PFE=90度，
所以，三角形BPM全等三角形PEF，所以，PM=EF，
所以，DF=EF。
（2）PC-PA=根号2CE。
在正方形AMPN中，PA=根号2PN=根号2DF=根号2EF，
在等腰直角三角形PCF中，PC=根号2CF，
所以，PC-PA=根号2（CF-EF）=根号2CE。

收起

在正方形ABCD中,对角线AC=10cm,p是AB上任意一点,p到对角线AC.BD的距离之和为?cm 如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,PB⊥PE,求证：PB=PE 如图所示,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过 如图,P是正方形ABCD对角线BD上一点 正方形ABCD中,对角线BD的长为20cm,点P是AB上的任意一点,则点P到AC,BD的距离之和是------------ 正方形ABCD中,对角线BD的长是20厘米,点P是AB上的任意一点,则点P到AC、BD的距离之和是多少 已知在正方形ABCD中,对角线的长为20厘米,P是AB上任意一点,则点P到AC、BD的距离值 正方形ABCD中,对角线AC=24cm,点P为AB上一点,则点P到对角线AC,BD的距离和是多少,如果可以~ 如图,正方形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB.如图,正方形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为点E、F.若正方形ABCD的周长为8,求四边形EBFP的周长. 正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥BC ,垂足分别是E.F,试猜想PD.EF的 已知在正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥BC,连接EF PD,求证：EF=PD 正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,求证,PD=EF 正方形abcd中,点e是ab的中点,在对角线ac上找一点p,使pe+pb最短 如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB. 正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,PE垂直AB于E,PF垂直BC于F.求证、DP垂直EF 正方形ABCD中,AB=1,点P是对角线AC上的一点,分别以AP、PC为对角线做正方形,则两个小正方形的周长和是? 如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是对角线AC上的一点,分别以AP、PC为对角线作正方形,则两个小正方形的周长的和 如图,在正方形ABCD中,AB=1,点P是对角线AC上的一点,分别以AP,PC为对角线作正方形,侧两个正方形的周长