设函数=-1/3x3+2ax2-3a2x+1,0

设函数=-1/3x3+2ax2-3a2x+1,0
设函数=-1/3x3+2ax2-3a2x+1,0

设函数=-1/3x3+2ax2-3a2x+1,0
(1):y`=-x²+4ax-3a²,令y`=0
→x1=a,x2=3a
→当a0,f(x)↑
所以：x=a,f(a)是最大值,得：
f(a)=1-4a³/3
(2):-a≤f`(x)≤a
→f`(x)≤|a|
→f`(x)≤a
→-x²+4ax-3a²-a≤0
→△≤0
→16a²≤4(3a²+a)
→0≤a≤1（第二问与前面的a的取值范围有关?这比较不确定,你题目应该是不是原题）

（Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x2+4a...

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（Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x2+4ax-3a2=-（x-2a）2+a2，
ⅰ）当2a≤1-a时，即0＜a≤
13
时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减．
∴[f′（x）]max=f′（1-a）=-8a2+6a-1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a-1．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
-8a2+6a-1≤a2a-1≥-a​
∴
a∈Ra≥13​
∴a≥
13
．
此时，a=
13
．（9分）
ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即
13
＜a＜1，[f′（x）]max=f′（2a）=a2．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
f′(1+a)≥-af′(1-a)≥-af′(2a)≤a​
即
2a-1≥-a-8a2+6a-1≥-aa2≤a​
∴
a≥137-1716≤a≤7+17160≤a≤1.​
∴
13
≤a≤
7+1716
．
此时，
13
＜a≤
7+1716
．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为[
13
，
7+1716
]．（14分）

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