作业帮x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 00:41:12
x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值
x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值
x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值
R 【[cos (2t)-sin (2t)]+2sintcost】=7 R 【cos(2t)+sin(2t)】所以x +y 最小值(7/2)√2 解法三：利用待定系数法构造均值不等式对2xy
三个解法∶解法一：三角代换
设x=Rcost，y=Rsint，则x²+y²=R²
由已知x²+2xy-y²=7可得
R²【[cos²(2t)-sin²(2t)]+2sintcost】=7
R²【cos(2t)+sin(2t)】=7
R²·√2sin(2t+45...
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三个解法∶解法一：三角代换
设x=Rcost，y=Rsint，则x²+y²=R²
由已知x²+2xy-y²=7可得
R²【[cos²(2t)-sin²(2t)]+2sintcost】=7
R²【cos(2t)+sin(2t)】=7
R²·√2sin(2t+45°)=7
当sin(2t+45°)取最大值1时，x²+y²=R²有最小值(7/2)√2
注：asint+bcost=√(a²+b²) sin(t+γ) 【tanγ=b/a】
解法二：判别式法
设x²+y²=S，则x²+2xy-y²=7(x²+y²)/S
即 (S-7)x²+2Sxy-(S+7)y²=0
1）当y=0时，x²=7，x²+y²=S=7
2）当y≠0时，上式化为(S-7)(x/y)²+2S(x/y)-(S+7)=0 【两边同除以y²】
①S=7时，x²=7/5，y²=28/5
②S≠7时，△=4S²+4(S+7)(S-7)≥0
S²≥49/2，S≥(7/2)√2
所以x²+y²最小值(7/2)√2
解法三：利用待定系数法构造均值不等式
对2xy放缩：
2xy=2·(kx)·(y/k)≤k²x²+(y²/k²)
∴x²+k²x²+(y²/k²)-y²≥x²+2xy-y²=7
即 (k²+1)x²+[(1/k²)-1]y²≥7
构造 k²+1=(1/k²)-1，
即k²=√2-1时
有 √2x²+√2y²≥7
x²+y²≥(7/2)√2∴当(√2-1)x=y/(√2-1)时取等号
∴x²+y²最小值(7/2)√2 O(∩_∩)O
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