问一道单调函数的数学题已知f(x+y)=f(x)+f(y),且x大于0时,f(x)小于零,试判断函数f(x)的单调性,请问如何判断,请写出推导过程.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/21 00:34:23
问一道单调函数的数学题已知f(x+y)=f(x)+f(y),且x大于0时,f(x)小于零,试判断函数f(x)的单调性,请问如何判断,请写出推导过程.
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问一道单调函数的数学题已知f(x+y)=f(x)+f(y),且x大于0时,f(x)小于零,试判断函数f(x)的单调性,请问如何判断,请写出推导过程.
问一道单调函数的数学题
已知f(x+y)=f(x)+f(y),且x大于0时,f(x)小于零,试判断函数f(x)的单调性,请问如何判断,请写出推导过程.

问一道单调函数的数学题已知f(x+y)=f(x)+f(y),且x大于0时,f(x)小于零,试判断函数f(x)的单调性,请问如何判断,请写出推导过程.
在R上取x1,x2,且x2>x1,令x2-x1=z所以z>0
因为任意x、y属于实数恒有f(x)+f(y)=f(x+y)
所以f(x1)+f(z)=f(x1+z)=f(x2)
因为当x大于0时,f(x)小于0,且z>0
所以f(z)<0
所以f(x1)>f(x2)
所以f(x)是R上的减函数

x2>x1, x2=x1+x0, x0>0
f(x2) = f(x1+x0) = f(x1) + f(x0), f(x0)<0
f(x2)-f(x1)<0
所以f(x)单调减少

令x y=0得函数为奇,令x,y都大于0,f(x y)-f(y)=f(x)〈0,x y〉y则函数递减

f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+△x)=f(x)+f(△x)
∵x>0时，f(x)<0
∴f(△x)<0
f(x+△x)=f(x)+f(△x)所以f(x)是R上的减函数

设x=y=0 f(0)=2f(0) f(0)=0 设y=-x
f(0)=0=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x) 奇函数
x<0时f(x)>0所以f(x)在定义域内单调第减

设X1 由f（X2）=f（X2-X1+X1）=f（X2-X1）+f（X1）
又X2-X1>0,由题意可知f（X2-X1）<0 所以有f（X1）>f（X2）
因此对于任意X1，X2都有f（X1）>f（X2）
所以f（x）为减函数

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