平面向量应用举例已知：O为原点,A(a,0),B(0,a),a为正数,点 P在线段AB上 且AP=tAB(0

平面向量应用举例已知：O为原点,A(a,0),B(0,a),a为正数,点 P在线段AB上 且AP=tAB(0
平面向量应用举例
已知：O为原点,A(a,0),B(0,a),a为正数,点 P在线段AB上 且AP=tAB(0

平面向量应用举例已知：O为原点,A(a,0),B(0,a),a为正数,点 P在线段AB上 且AP=tAB(0
这题其实用观察法是容易的：
向量OA dot OP=|OA|*|OP|*cosq(q是向量OA与OP的夹角)
因为|OA|是一定的,等于a,随着P点从A向B移动,|OP|先从a逐渐变小到sqrt(2)a/2
再逐渐增大到a,但在这个过程中,q从0变化到π/2,余弦函数在[0,π/2]上是减函数
所以cosq从1减小到0,所以当q=0,即P与A点重合时,向量OA dot OP=a*a*cos(0)=a^2最大
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如果用向量严格推导：
向量OA=(a,0),向量AB=(-a,a),则：向量AP=(-ta,ta),而向量OP=向量AP+OA
所以向量OA dot 向量OP=向量OA dot (向量AP+OA)=|OA|^2+向量OA dot 向量AP
=a^2+|OA|*|AP|*cos(3π/4)=a^2+a*sqrt(2)at*(-sqrt(2)/2)=a^2-t*a^2=(1-t)*a^2
所以当t=0时,向量OA点乘向量OP取得最大值a^2,此时P点与A点重合.

设OP与x轴的夹角为α，则OP*(sinα+cosα)=a，
向量OA*向量OP＝OA*OPcosα=a^2*cosα/(sinα+cosα)=a^2/(1+tanα)；
其中0≤tanα≤+∝，显然，当tanα=0时（P与A重合），两向量点积最大=a^2；

AB=√2a
AP=tAB=√2at
OA*OP=√2a²t
当t=1时，OA*OP最大，最大值是√2a²