作业帮关于圆已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,一条斜率等于1的直线L与圆C交于AB两点,求△ABC面积最大时直线L的方程（C为圆心）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/18 02:52:57
关于圆已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,一条斜率等于1的直线L与圆C交于AB两点,求△ABC面积最大时直线L的方程（C为圆心）
关于圆
已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,一条斜率等于1的直线L与圆C交于AB两点,求△ABC面积最大时直线L的方程（C为圆心）
关于圆已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,一条斜率等于1的直线L与圆C交于AB两点,求△ABC面积最大时直线L的方程（C为圆心）
(x-1)^2+(y+2)^2=9
圆的半径为3
设圆心(1,-2)为极坐标原点,平行于x轴正方向为极坐标轴线正方向
可写A(ρ,α) B(ρ,β) 其中ρ=3是半径
也就是说S△ABC=(9/2)*sin(α-β)
此部分最大值是1,1=sin90°
即△ABC面积最大时,△ABC是直角三角形
方程过点(1,1)或(4,-2)为x-1=y-1 y=x
y+2=x-4 x-y-6=0
我们先不管L的斜率 先把圆C化为标准方程
为(x-1)²+(y+2)²=9
设C到直线L的距离为a
那么三角形面积S=a*根号（9-a²）
当a=3/2*根号2时面积最大
因为L斜率为1 C为（1，-2）
则可以知道C到L得垂足坐标为（-1/2，-1/2）或者（5/2，-7/2）
则L的方程为y=x 或者 y=...
全部展开
我们先不管L的斜率 先把圆C化为标准方程
为(x-1)²+(y+2)²=9
设C到直线L的距离为a
那么三角形面积S=a*根号（9-a²）
当a=3/2*根号2时面积最大
因为L斜率为1 C为（1，-2）
则可以知道C到L得垂足坐标为（-1/2，-1/2）或者（5/2，-7/2）
则L的方程为y=x 或者 y=x-6
收起
因为L的斜率是1，三角形肯定是等腰三角形。因此当直线和圆相切时候，三角形的面积是最大的
这个圆是以（1，-2）为圆心，3为半径的圆，三角形的高就是圆的半径，用点到直线的距离为半径，列出等式，算出b
首先圆的方程等价于(x-1)^2+(y+2)^2=9,半径为3，圆心为（1，-2）
△ABC面积=1/2*CA*CB*sinACB=1/2*9sinACB
显然当ACB=90°时面积最大
显然，当角ACB=90°时，圆心到直线的距离为3/sqrt(2)
设L直线方程为y=x+b，即y-x-b=0;
则圆心到直线距离为|-2-1-b|/sqrt(2)=3/sq...
全部展开
首先圆的方程等价于(x-1)^2+(y+2)^2=9,半径为3，圆心为（1，-2）
△ABC面积=1/2*CA*CB*sinACB=1/2*9sinACB
显然当ACB=90°时面积最大
显然，当角ACB=90°时，圆心到直线的距离为3/sqrt(2)
设L直线方程为y=x+b，即y-x-b=0;
则圆心到直线距离为|-2-1-b|/sqrt(2)=3/sqrt(2)
=>b=0或-6
故所求直线方程为y=x或者y=x-6
收起
设直线方程为y=x+b
A,B是直线与圆的交点
故利用两点距离公式求|AB|=[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]的平方根
但(x2-x1)^2=(x2+x1）^2-4*x1*x2
同理(y2-y1)^2也可这么表示
联立直线与圆方程可分别求得关于x和y的方程
故求得|AB|=(-2b^2-8b+24)的平方根
再利用圆心到直线的距离公...
全部展开
设直线方程为y=x+b
A,B是直线与圆的交点
故利用两点距离公式求|AB|=[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]的平方根
但(x2-x1)^2=(x2+x1）^2-4*x1*x2
同理(y2-y1)^2也可这么表示
联立直线与圆方程可分别求得关于x和y的方程
故求得|AB|=(-2b^2-8b+24)的平方根
再利用圆心到直线的距离公式
求得d=|3+b|除于根号2
S△ABC=2分之一*|AB|*d
我们可以把三角形ABC的面积取得的式构造一个二元一次方程并求最大值问题
则构造的二元一次方程为
S△ABC=0
故|3+b|除于根号2*(-2b^2-8b+24)的平方根*二分之一=0
通过计算求得b=2或者b=-6
但b=-6时直线与圆没有交点 故b=-6舍去
所以b=2
故我们所要求的直线方程为y=x+2
收起