ABCD是矩形,AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线AC折叠,点B落在E处,连接DE,四边形ACED的面积是多少?周长呢?

ABCD是矩形,AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线AC折叠,点B落在E处,连接DE,四边形ACED的面积是多少?周长呢?
ABCD是矩形,AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线AC折叠,点B落在E处,连接DE,四边形ACED的面积是多少?周长呢?

ABCD是矩形,AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线AC折叠,点B落在E处,连接DE,四边形ACED的面积是多少?周长呢?
RT△ABC≌RT△AEC(RT△AEC由RT△ABC折叠而成),
AE=AB=4cm,CE=BC=AD=3cm,
设CD与AE交于F,
∠CFE=∠AFD,∠CEF=∠ADF=90度,
所以∠FCE=∠FAD,CE=AD
RT△ABC≌RT△AEC,[ASA]
FE=FD,
AF²=AD²+FD²,
(AE-FE)²=AD²+FD²,
(AE-FD)²=AD²+FD²,
(4-FD)²=3²+FD²,
16-8FD=9,
FD=7/8(cm)=FE,
FC=CD-FD=4-7/8=25/8(cm),
作EH⊥CD,垂足H,EH*FC/2=FD*AD/2,[RT△ABC≌RT△AEC,面积相等]
EH*25/8=7/8*3,
EH=21/25(cm),
CH²=CE²-HE²=3²-(21/25)²=(3²*25²-21²)/25²=(75+21)(75-21)/25²=96*54/25²,
CH=72/25(cm),
DH=CD-CH=4-72/25=28/25,
DE²=DH²+EH²=28²/25²+21²/25²=1225/25²=49/25,
DE=7/5(cm),
S四边形ACED=SRT△ADC+S△DCE
=AD*CD/2+EH*CD/2
=3*4/2+21/25*4/2
=6+42/25
=192/25
=7.68(cm²)
AC²=AB²+BC²=4²+3²=25,
AC=5(cm),
四边形ACED的周长=AC+CE+DE+AD
=5+3+7/5+3
=62/5
=12.4(cm)

画图可知，ACDE由直角三角形ACE（直角三角形ABC折叠过来而成）和三角形DAE组成
ACE和ACB全等
ADE三角形中 AE=AB=4 AD=3
而角EAD的信息可以有90度-2×角BAC得到
知道AE AD两边长和角EAD，三角形ADE就确定了
设角BAC=a
ADE的面积=0.5×4×3×sin(90-2*a)
=6*cos2a

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画图可知，ACDE由直角三角形ACE（直角三角形ABC折叠过来而成）和三角形DAE组成
ACE和ACB全等
ADE三角形中 AE=AB=4 AD=3
而角EAD的信息可以有90度-2×角BAC得到
知道AE AD两边长和角EAD，三角形ADE就确定了
设角BAC=a
ADE的面积=0.5×4×3×sin(90-2*a)
=6*cos2a
=6*(cosa^2-sina^2)
=6*(0.8^2-0.6^2)
=1.68
所以ACDE面积=1.68+3×4×0.5=7.68
由余弦定理
DE^2=3^2+4^2-2*3*4*cos(90-2*a)
=25-24*sin2a=25-24*2*sina*cosa
=25-48*0.6*0.8
=1.96
DE=1.96^(1/2)=1.4
所以周长就是AC+CE+DE+AD
=5+3+1.4+3=12.4

收起

S四边形ACED=AD*DC=12cm2
因为四边形ABCD是矩形
所以角ADC=90度
在直角三角形ADC中
用勾股定理得
AC2=AD2+DC2
所以AC=5cm
所以周长=（AC+CD)*2
=18cm

作DF⊥AC于F，EH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，

∴AD=BC=3cm，DC∥AB，

∴∠3=∠5，AC=5cm，

而S△ADC=1 2 DF•AC=1 2 AD•DC，

∴DF=12 5 cm，

又∵把矩形沿直线AC折叠．点B落在E处，

∴BC=CE，AB=AE，∠4=∠5，

∴∠3=∠4，AD=EC，AE=DC，

在Rt△ADC与Rt△CEA中，

 AC=CA AD=CE  ∴Rt△ADC≌Rt△CEA，

∴DF=EH，

又∵DF∥EH，

∴四边形DFHE是平行四边形，

∴DE∥AC，且AD不平行EC，

∴四边形ACED是等腰梯形；

在Rt△ADF中，AF= AD2-DF2 =9 5 ，

∴FH=AC-AF-CH=5-2×9 5 =7 5 ，

∴DE=7 5 ，

∴四边形ACED的面积=1 2 （7 5 +5）•12 5 =192 25 cm2；

四边形ACED的周长=3+3+5+7 5 =62 5 cm．

它的面积是192 25 cm2；

周长是5分之62cm．