拉格朗日中值定理的问题证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 22:54:56
拉格朗日中值定理的问题证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?
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拉格朗日中值定理的问题证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?
拉格朗日中值定理的问题
证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?

拉格朗日中值定理的问题证明拉格朗日中值定理要设一个辅助函数g(x)=[(f(b)-f(a))]/(b-a)×(x-a)+f(a)-f(x),f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导.那么,为什么g(x)也是在[a,b]连续,在(a,b)可导呢?
将三项分开看：
1、对于确定的f（x）而言,[(f(b)-f(a))]/(b-a)是一个固定值,所以[(f(b)-f(a))]/(b-a)*(x-a)求导结果就是[(f(b)-f(a))]/(b-a)
2、f(a)也是固定值,求导结果为0
3、剩下的f（x）又可导
三项均可导,其和g（x）当然就可导了.

由连续函数可导函数构造的初等函数在其定义域上也是连续可导的，这个结论可以证明的！

由连续函数和可导函数的四则运算性质可知。连续（可导）函数之间的加减乘除所得的函数仍然是连续（可导）函数，其中除法得到的函数在分母为0的地方除外。

给你个思路吧，如果你想严密地证明，你必须从连续和可导的定义来。
题目前提是f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，那么从定义得到：
f（x）在x处左右可导且值相同，即
lim△x->0 (f(x+△x)-f(x))/△x = lim△x->0 (f(x)-f(x-△x))/△x
上面等式其值我们不妨记为f'(x).
现在你要做的就是 把lim△x->0 ...

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给你个思路吧，如果你想严密地证明，你必须从连续和可导的定义来。
题目前提是f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，那么从定义得到：
f（x）在x处左右可导且值相同，即
lim△x->0 (f(x+△x)-f(x))/△x = lim△x->0 (f(x)-f(x-△x))/△x
上面等式其值我们不妨记为f'(x).
现在你要做的就是 把lim△x->0 (g(x+△x)-g(x))/△x 和 lim△x->0 (g(x)-g(x-△x))/△x 算出来，看看它们的值相等不相等。如果相等就可以根据定义证明g(x)也是在[a,b]连续，在(a,b)可导。
计算中要用到题目的前提哦，即lim△x->0 (f(x+△x)-f(x))/△x = lim△x->0 (f(x)-f(x-△x))/△x = f'(x）
自己推推g(x)也是左右可导并相等吧

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