作业帮[微积分][微分中值定理][证明题]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).证明:在(0,1)上至少存在一点x,使得(1+x) f ' (x) = f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 22:57:38
![[微积分][微分中值定理][证明题]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).证明:在(0,1)上至少存在一点x,使得(1+x) f ' (x) = f(x)](/uploads/image/z/7237245-21-5.jpg?t=%5B%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%5D%5B%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86%5D%5B%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%5D%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%5B0%2C1%5D%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2C%E5%9C%A8%280%2C1%29%E4%B8%8A%E5%8F%AF%E5%AF%BC%2C%E4%B8%94%E6%9C%89f%281%29%3D2f%280%29.%E8%AF%81%E6%98%8E%3A%E5%9C%A8%280%2C1%29%E4%B8%8A%E8%87%B3%E5%B0%91%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%B8%80%E7%82%B9x%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%281%2Bx%29+f+%27+%28x%29+%3D+f%28x%29)
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[微积分][微分中值定理][证明题]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).证明:在(0,1)上至少存在一点x,使得(1+x) f ' (x) = f(x)
[微积分][微分中值定理][证明题]
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).
证明:在(0,1)上至少存在一点x,使得(1+x) f ' (x) = f(x)
[微积分][微分中值定理][证明题]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).证明:在(0,1)上至少存在一点x,使得(1+x) f ' (x) = f(x)
设g(x)=f(x)/(1+x)
则g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导
且：g(0)=f(0),g(1)=f(1)/2,由条件知：g(0)=g(1)
因此由罗尔定理,存在x∈(0,1),使得
g'(x)=0
即：[f(x)/(1+x)]' = 0
[(1+x)f '(x) - f(x)] / (1+x)^2 = 0
因此：(1+x)f '(x) - f(x) = 0
原式得证