作业帮已知y=x²上一点P,过点P作抛物线的切线L1,作L1的垂线L2交抛物线于点Q,求PQ 长度的最小值.我们老师讲了代数法,本人已懂,但此题是否有更好的解法?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 02:29:42
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已知y=x²上一点P,过点P作抛物线的切线L1,作L1的垂线L2交抛物线于点Q,求PQ 长度的最小值.我们老师讲了代数法,本人已懂,但此题是否有更好的解法?
已知y=x²上一点P,过点P作抛物线的切线L1,作L1的垂线L2交抛物线于点Q,求PQ 长度的最小值.
我们老师讲了代数法,本人已懂
,但此题是否有更好的解法?
已知y=x²上一点P,过点P作抛物线的切线L1,作L1的垂线L2交抛物线于点Q,求PQ 长度的最小值.我们老师讲了代数法,本人已懂,但此题是否有更好的解法?
不知道我这个算不算新的解法
设P(x0,x0²)
P点的切线斜率=2x0
∴L2斜率为-1/(2x0)
l2:y=-1/(2x0)(x-x0)+x0²
与y=x²联立
得
x²+1/(2x0)x-(1/2+x0²)=0
解得
x=x0或x=-x0-1/(x0)
显然Q的横坐标为-x0-1/(x0)
代入y=-1/(2x0)(x-x0)+x0²得
Q的纵坐标为1+x0²+1/2x0²
PQ距离
=√[(1+k²)(x1+x2)²-4x1x2]
=√[(1+1/(4x0²))(1/(4x0²)+2+4x0²)]
设4x0²=t>0
∴根号内=t+3/t+1/t²+3
设y=t+3/t+1/t²+3
y'=1-3/t²-2/t³=(t³-3t-2)/t³=(t+1)²(t-2)/t³
t>0
令y'>0
∴t>2
y'