作业帮已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交与A、B两点,直线l：y=kx+b和圆相切于劣弧AB上一点,已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交与A、B两点,直线l：y=kx+b和圆相切于猎户AB上一点,并交抛物线于两点M、N两点.求M
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/13 14:17:35
已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交与A、B两点,直线l：y=kx+b和圆相切于劣弧AB上一点,已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交与A、B两点,直线l：y=kx+b和圆相切于猎户AB上一点,并交抛物线于两点M、N两点.求M
已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交与A、B两点,直线l：y=kx+b和圆相切于劣弧AB上一点,
已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交与A、B两点,直线l：y=kx+b和圆相切于猎户AB上一点,并交抛物线于两点M、N两点.求M、N到抛物线的焦点的距离之和的最大值
已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交与A、B两点,直线l：y=kx+b和圆相切于劣弧AB上一点,已知抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32交与A、B两点,直线l：y=kx+b和圆相切于猎户AB上一点,并交抛物线于两点M、N两点.求M
将抛物线方程代入圆方程,求Y=-2±6,根据抛线上点的Y坐标大于0,舍弃Y=-8,故抛物线与圆的交点的Y坐标:Y=4
将Y=4代入抛线,求得A、B点坐标：A(-4,4)、B(4,4)
设y=kx+b直线与Y轴的交点为D,则D点坐标为:D(0,b)
设y=kx+b与圆x^2+y^2=32的切点为C,坐标原点O,则|OC|=SQRT(32)
由直线与圆相切于劣弧上得,-1/k的取值范围为：-1/k>=1或-1/k<=-1
故：-1<=k<=1
由对称性知求取距离之和的最大值时,按0<=k<=1计算即可
解直角三角形 △OCD,得|OD|=SQRT(|OC|^2+|DC|^2)＝b
由|OC|^2=32；得：b=SQRT(32+|DC|^2)
又：k=tg∠DAO=tg∠COD=|DC|/|OC|,|DC|=k|OC|=32k
代入b=SQRT(32+|DC|^2),得
b=SQRT[32+(32k)^2]
抛物线的准线方程为：y=-1
由抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,故求M、N到抛物线的焦点的距离之和的最大值,即是求M、N到抛物线的准线的距离之和的最大值
联立y=kx+b;x^2+y^2=32,得
将y=kx+b代入抛物线方程得：
Y=2k^2±2kSQRT(k^2+b)+b
到准线的距离之和为：
S＝[2k^2+2kSQRT(k^2+b)+b+1]+[2k^2-2kSQRT(k^2+b)+b+1]
S=4k^2+2b+2
将b=SQRT[32+(32k)^2]代入并整理后得
S=4k^2+2SQRT[32+(32k)^2]+2
由k的取值范围：-1<=k<=1得：
当k=±1时,有最大值:Smax=6+2SQRT(1056)=6+8SQRT(66)