高数极限问题 lim (√（1+xsinx）-1)/e^(x^2)-1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/06 14:54:24
高数极限问题 lim (√（1+xsinx）-1)/e^(x^2)-1
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高数极限问题 lim (√（1+xsinx）-1)/e^(x^2)-1
高数极限问题 lim (√（1+xsinx）-1)/e^(x^2)-1

高数极限问题 lim (√（1+xsinx）-1)/e^(x^2)-1
lim(x->0) [√(1+xsinx) - 1] / (e^x² - 1)
= lim(x->0) (1+xsinx-1) / x²[√(1+xsinx) + 1],分子有理化,当x->0时e^(x²)-1≈x²
= lim(x->0) sinx/x * 1/[√(1+xsinx) + 1]
= 1 * 1/[√(1+0) + 1]
= 1/2

泰勒展开
分子=1+1/2 * xsinx+o(x^2)-1=1/2 * xsinx+o(x^2)=1/2 * x^2 + o(x^2)
分母=1+x^2+o(x^2)-1=x^2+o(x^2)
所以lim(√（1+xsinx）-1)/e^(x^2)-1=1/2

(1 xsinx)^(1/2)/(e^x-1)
∵
∵Lim(x→0)xsin[x]=0
∴Lim(x→0)(1 xsin[x])^(1/2)=1
∵Lim(x→0)(e^x)=1
∴Lim(x→0)(e^x-1)=0
所以：Lim(x→0)(1 xsinx)^(1/2)/(e^x-1)=∞

利用等价无穷小lim(Xsinx/2)/x^2=sinx/2x=(洛必达法则)cosx/2=1/2

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