通项公式an=n²,求Sn

通项公式an=n²,求Sn
通项公式an=n²,求Sn

通项公式an=n²,求Sn
Sn=1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
即：Sn=1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)

证法一　（归纳猜想法）：
1、N=1时，1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时，1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+…+x^2=x(x+1)(2x...

全部展开

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)

证法一　（归纳猜想法）：
1、N=1时，1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时，1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+…+x^2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时，
1+4+9+…+x^2+(x+1)^2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)^2
=(x+1)[2(x^2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x^2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

收起