数列an=((-1)^n + 4n)/2^n,求前n项和Sn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 01:17:37
数列an=((-1)^n + 4n)/2^n,求前n项和Sn
数列an=((-1)^n + 4n)/2^n,求前n项和Sn
数列an=((-1)^n + 4n)/2^n,求前n项和Sn
之后拆开用到1^2+2^2+.n^2的公式.就这样.
∵a[n]=[(-1)^n+4n]/2^n=(-1/2)^n+4n/2^n
∴我们先考察前一项:(-1/2)^n的前n项和T[n]
即:T[n]=(-1/2)^1+(-1/2)^2+...+(-1/2)^n
=(-1/2)[1-(-1/2)^n]/[1-(-1/2)]
=(-1/3)[1-(-1/2)^n]
我们再考察后一项:4n/2^n中n/2^n的前n项...
全部展开
∵a[n]=[(-1)^n+4n]/2^n=(-1/2)^n+4n/2^n
∴我们先考察前一项:(-1/2)^n的前n项和T[n]
即:T[n]=(-1/2)^1+(-1/2)^2+...+(-1/2)^n
=(-1/2)[1-(-1/2)^n]/[1-(-1/2)]
=(-1/3)[1-(-1/2)^n]
我们再考察后一项:4n/2^n中n/2^n的前n项和R[n],其中系数4最后再处理
∵R[n]=1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n
∴R[n]/2=1/2^2+2/2^3+3/2^4+...+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
∴上面两式相减:
R[n]/2=1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n-n/2^(n+1)
=1/2[(1-1/2^n)/(1-1/2)]-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
=1-(n/2+1)/2^n
∴R[n]=2-(n+2)/2^n
综上所述:
S[n]=T[n]+4R[n]
=(-1/3)[1-(-1/2)^n]+8-4(n+2)/2^n
=23/3+(1/3)(-1/2)^n-4(n+2)/2^n
=23/3+[(1/3)(-1)^n-4(n+2)]/2^n
收起
错位相减法
Sn= (-1+4*1)/2+((-1)^2+4*2)/2^2+((-1)^3+4*3)/2^3+...+((-1)^(n-1)+4*(n-1))/2^(n-1)+((-1)^n+4*n)/2^n
2Sn=-1+4*1+((-1)^2+4*2)/2+((-1)^3+4*3)/2^2+...+((-1)^n+4*n)/2^(n-1)
两式相减得
Sn=-1+4*1+(2*(-1)^2+4)/2+(2*(-1)^3+4)/2^2+...+(2*(-1)^n+4)/2^(n-1)-((-1)^n+4*n)/2^n
自己化简吧