数列{an}的前n项和为Sn=1/2n²+pn,{bn}的前n项和为Tn=[2(n次方)]-1,且a4=b4.(1)求数列{an}、{bn}公式;(2)若对于数列{cn}有cn=an·bn,请求出数列{cn}的前n项和Rn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 10:38:11
![数列{an}的前n项和为Sn=1/2n²+pn,{bn}的前n项和为Tn=[2(n次方)]-1,且a4=b4.(1)求数列{an}、{bn}公式;(2)若对于数列{cn}有cn=an·bn,请求出数列{cn}的前n项和Rn](/uploads/image/z/745649-17-9.jpg?t=%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BASn%3D1%2F2n%26%23178%3B%2Bpn%2C%7Bbn%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BATn%3D%5B2%28n%E6%AC%A1%E6%96%B9%29%5D-1%2C%E4%B8%94a4%3Db4.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E3%80%81%7Bbn%7D%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E6%95%B0%E5%88%97%7Bcn%7D%E6%9C%89cn%3Dan%C2%B7bn%2C%E8%AF%B7%E6%B1%82%E5%87%BA%E6%95%B0%E5%88%97%7Bcn%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8CRn)
数列{an}的前n项和为Sn=1/2n²+pn,{bn}的前n项和为Tn=[2(n次方)]-1,且a4=b4.(1)求数列{an}、{bn}公式;(2)若对于数列{cn}有cn=an·bn,请求出数列{cn}的前n项和Rn
数列{an}的前n项和为Sn=1/2n²+pn,{bn}的前n项和为Tn=[2(n次方)]-1,且a4=b4.(1)求数列{an}、{bn}
公式;(2)若对于数列{cn}有cn=an·bn,请求出数列{cn}的前n项和Rn
数列{an}的前n项和为Sn=1/2n²+pn,{bn}的前n项和为Tn=[2(n次方)]-1,且a4=b4.(1)求数列{an}、{bn}公式;(2)若对于数列{cn}有cn=an·bn,请求出数列{cn}的前n项和Rn
(1)
∵Sn=(1/2)n^2+pn,Tn=2^n-1
∴S3=9/2+3p,S4=8+4p,T3=7,T4=15
∴a4=S4-S3=(8+4p)-(9/2+3p)=7/2+p,b4=T4-T3=15-7=8
∵a4=b4
∴7/2+p=8
∴p=9/2.
∴Sn=(1/2)n^2+(9/2)n
∴a1=S1=5,S(n-1)=(1/2)(n-1)^2+(9/2)(n-1)=(1/2)n^2+(7/2)n-4(n≥2)
∴an=Sn-S(n-1)=[(1/2)n^2+(9/2)n]-[(1/2)n^2+(7/2)n-4]=n+4(n≥2)
∵a1=5=1+4
∴数列{an}的通项公式为an=n+4.
∵Tn=2^n-1
∴b1=T1=1,T(n-1)=2^(n-1)-1(n≥2)
∴bn=Tn-T(n-1)=(2^n-1)-[2^(n-1)-1]=2^(n-1)(n≥2)
∵b1=1=2^(1-1)
∴数列{bn}的通项公式为2^(n-1).
(2)cn=(n+4)×2^(n-1)
则Rn=5×1+6×2+7×2^2+…+(n+4)×2^(n-1)
2Rn= 5×2+6×2^2+…+(n+3)×2^(n-1)+(n+4)×2^n
两式相减:-Rn=5+2+2^2+…+2^(n-1)-(n+4)×2^n
=5+2[1-2^(n-1)]/(1-2)-(n+4)×2^n
=5+2^n-2-(n+4)×2^n
=3-(n+3)×2^n
那么Rn=(n+3)×2^n-3.
(1)对于an:
Sn=1/2n²+pn 1;
S(n-1)=1/2(n-1)²+p(n-1) 2;
1-2,得:an=n-1/2+p (n>=2);
a1代入符合,所以 an=n-1/2+p
对...
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(1)对于an:
Sn=1/2n²+pn 1;
S(n-1)=1/2(n-1)²+p(n-1) 2;
1-2,得:an=n-1/2+p (n>=2);
a1代入符合,所以 an=n-1/2+p
对于bn:
Tn=2^n-1 3;
T(n-1)=2^(n-1)-1 4;
3-4,得 bn=2^(n-1) (n>=2);
b1代入符合,所以 bn= 2^(n-1)
所以 a4=7/2+p b4=8 所以p=9/2;
所以 an=n+4; bn= 2^(n-1);
(2)cn=an·bn=(n+4)·2^(n-1);
Rn=5×1+6×2+7×2^2+…+(n+4)×2^(n-1); 5;
2Rn= 5×2+6×2^2+…+(n+3)×2^(n-1)+(n+4)×2^n; 6;
6-5,得 Rn=-5-(2+2^2+2^3...+2^(n-1))+(n+4)×2^n;
中间部分利用等比数列求和,得 Rn=-5-(2^n-2)+(n+4)×2^n;
化简,得 Rn=(n+3)×2^n-3;
收起
1、an=S(n)-S(n-1)=1/2n²-1/2(n-1)²
bn=T(n)-T(n-1)=2的(n-1)次方