已知a,b为实数,则a²+ab+b²-a-2b的最小值

已知a,b为实数,则a²+ab+b²-a-2b的最小值
已知a,b为实数,则a²+ab+b²-a-2b的最小值

已知a,b为实数,则a²+ab+b²-a-2b的最小值
答：
设k=a^2+ab+b^2-a-2b
整理成关于a的一元二次方程得：
a^2+(b-1)a+b^2-2b-k=0
方程恒有解,则：
判别式=(b-1)^2-4(b^2-2b-k)>=0有解
整理得：
3b^2-6b<=1+4k
0<=3(b-1)^2<=4(1+k)
所以：1+k>=0,k>=-1
所以：a^2+ab+b^2-a-2b的最小值为-1

设y=a^2+ab+b^2-a-2b
a^2+(b-1)a+b^2-2b-y=0
未知数为a的方程，有实数解的条件是它的判别式△≥0，即
(b-1)^2-4(b^2-2b-y)≥0
(b-1)^2-4[(b-1)^2-1-y)≥0
-3(b-1)^2+4+4y≥0
4y≥3(b-1)^2-4
y≥[3(b-1)^2-4]/4

全部展开

设y=a^2+ab+b^2-a-2b
a^2+(b-1)a+b^2-2b-y=0
未知数为a的方程，有实数解的条件是它的判别式△≥0，即
(b-1)^2-4(b^2-2b-y)≥0
(b-1)^2-4[(b-1)^2-1-y)≥0
-3(b-1)^2+4+4y≥0
4y≥3(b-1)^2-4
y≥[3(b-1)^2-4]/4
b=1,y最小值=-1
∴a,b为实数,a平方+ab+b的平方-a-2b的最小值=-1
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