已知三角形abc,分别以ab,bc,ca为边向外做等边三角形abd,等边三角形bce等边三角形acf,且角acb=60度填辅助线连接ad,bf,ae 证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 18:54:30
已知三角形abc,分别以ab,bc,ca为边向外做等边三角形abd,等边三角形bce等边三角形acf,且角acb=60度填辅助线连接ad,bf,ae 证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.
已知三角形abc,分别以ab,bc,ca为边向外做等边三角形abd,等边三角形bce等边三角形acf,且角acb=60度
填辅助线
连接ad,bf,ae 证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.
已知三角形abc,分别以ab,bc,ca为边向外做等边三角形abd,等边三角形bce等边三角形acf,且角acb=60度填辅助线连接ad,bf,ae 证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.
余弦定理:
c²=a²+b²-2abCos60°
c²=a²+b²-ab
c²+ab=a²+b²
c²×√3 /4+ab×√3 /4=a²×√3 /4+b²×√3 /4
S△ABD+S△ABC=S△BCE+S△ACF
三边分别为a b c
由余弦定理 c方=a方+b方-2abcos60度=a方+b方-ab
三角形面积分别为 S△BCE=√3/4*a方 S△ACF=√3/4*b方
S△ABD=√3/4*c方 S△ABC=√3/4*ab
前2面积和=后2面积和
证明:过A作AM∥FC交BC于M,连接DM、EM,
∵∠ACB=60°,∠CAF=60°,
∴∠ACB=∠CAF,
∴AF∥MC,
∴四边形AMCF是平行四边形,
又∵FA=FC,
∴四边形AMCF是菱形,
∴AC=CM=AM,且∠MAC=60°,
∵在△BAC与△EMC中,
CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
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证明:过A作AM∥FC交BC于M,连接DM、EM,
∵∠ACB=60°,∠CAF=60°,
∴∠ACB=∠CAF,
∴AF∥MC,
∴四边形AMCF是平行四边形,
又∵FA=FC,
∴四边形AMCF是菱形,
∴AC=CM=AM,且∠MAC=60°,
∵在△BAC与△EMC中,
CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
∴△BAC≌△EMC,
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD,∠BAC=∠DAM,AC=AM
∴△ABC≌△ADM(SAS)
故△ABC≌△MEC≌△ADM,
在CB上截取CM,使CM=CA,
再连接AM、DM、EM (辅助线这样做△AMC就是等边三角形了,后边证明更简便)
易证△AMC为等边三角形,
在△ABC与△MEC中,
CA=CM,∠ACB=∠MCE,CB=CE,
∴△ABC≌△MEC(SAS),
∴AB=ME,∠ABC=∠MEC,
又∵DB=AB,
∴DB=ME,
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC,
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC,
∴∠DBC=∠BME,
∴DB∥ME,
即得到DB与ME平行且相等,故四边形DBEM是平行四边形,
∴四边形DBEM是平行四边形,
∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF,
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF.
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