求积分： ∫√(1+4x^2)dx求详细过程

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 14:45:13
求积分： ∫√(1+4x^2)dx求详细过程
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求积分： ∫√(1+4x^2)dx求详细过程
求积分： ∫√(1+4x^2)dx
求详细过程

求积分： ∫√(1+4x^2)dx求详细过程
令x＝（1/2）tanu,则：
cosu＝√｛（cosu）^2/［（cosu）^2＋（sinu）^2］｝＝√｛1/［1＋（tanu）^2］｝
＝1/√（1＋4x^2）,
√（1＋4x^2）＝√［1＋（tanu）^2］＝1/cosu,dx＝（1/2）［1/（cosu）^2］du.
∴原式＝（1/2）∫（1/cosu）［1/（cosu）^2］du
　　　＝（1/2）∫［1/（cosu）^3］du
　　　＝（1/2）∫［cosu/（cosu）^4］du
　　　＝（1/2）∫｛1/［1－（sinu）^2］^2｝d（sinu）
再令sinu＝t,则：
原式＝（1/2）∫［1/（1－t^2）^2］dt
　　＝（1/8）∫［（1＋t＋1－t）/（1＋t）（1－t）］^2dt
　　＝（1/8）∫［1/（1－t）－1/（1＋t）］^2dt
　　＝（1/8）∫［1/（1－t）^2］dt－（1/4）∫［1/（1＋t）（1－t）］dt
　　　＋（1/8）∫［1/（1＋t）^2］dt
　　＝－（1/8）［1/（1－t）^2］d（1－t）－（1/8）∫［（1＋t＋1－t）/（1＋t）（1－t）］dt
　　　＋（1/8）∫［1/（1＋t）^2］d（1＋t）
　　＝（1/8）［1/（1－t）］－（1/8）∫［1/（1－t）］dt－（1/8）∫［1/（1＋t）］dt
　　　－（1/8）［1/（1＋t）］
　　＝1/（8－8t）－1/（8＋8t）－（1/8）ln｜1－t｜－（1/8）ln｜1＋t｜＋C
　　＝1/（8－8sinu）－1/（8＋8sinu）－（1/8）ln（1－t^2）＋C
　　＝16sinu/［64－64（sinu）^2］－（1/8）ln［1－（sinu）^2］＋C
　　＝sinu/［4（cosu）^2］－（1/4）ln｜cosu｜＋C
　　＝tanu/（4cosu）－（1/4）ln｜cosu｜＋C
　　＝2x/｛4［1/√（1＋4x^2）］｝－（1/4）ln｜1/√（1＋4x^2）｜＋C
　　＝（1/2）x√（1＋4x^2）＋（1/8）ln（1＋4x^2）＋C

∫√(1+4x^2)dx
=X+(4/3)x³+C

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