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经典中考数学试题赏析
江西省乐平市第二中学 骆文娟 333300
摘要：近几年中考数学试题以学生发展为本,在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时,加强对学生数学能力的考查,突出数学的思维价值,强调能力立意.
关键词：应用意识；模型思想；探究；推理
一.突出方程和不等式的模型思想,考查学生的应用意识
《数学课程标准》强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程.方程和不等式都是刻画现实世界问题的数学模型,是将实际问题数学化的过程.加强应用意识的培养和考查是教育教学改革的需要．
例1 (2006年江西省中考数学试题24题) 小杰到学校食堂买饭,看到A、B两窗口前面排的人一样多(设为a人,a>8),就站到A窗口队伍的后面排队,过了 2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍,B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人．
（1）此时,若小杰继续在A窗口排队．则他到达A窗口所花的时间是多少(用含a的代数式表示)；
（2）此时,若小杰迅速从A窗口转移到B窗口队伍后面重新排队,且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少,求a的取值范围(不考虑其它因素)．
【解】（1）他继续在A窗口排队所花的时间为
（分）
（2）由题意,得
.
解得 a > 20.
所以,a的取值范围为 a > 20.
【点评】本题以学生的身边问题为切入点,背景熟悉.排在较慢队伍的人自然会产生“要不要转换队列呢?”,这样自然引进第(2)问, 问题的设置自然流畅,毫无人为雕啄之感.通过建立不等式模型,求解不等式,从而得出对行动有指导意义的判断,为行动决策提供有力的支撑,这是在用数学. 试题包含丰富的数学知识,考查了运用不等式知识解决实际问题的能力,充分展示了数学应用的广泛空间.[1]
【教学的启示】数学教学要让学生关注身边的数学,并从中提炼出具有社会价值的数学应用背景,独立思考,学会用数学的眼光,从数学的角度,观察事物,阐释现象,分析问题,解决问题,培养应用意识.
二.突出函数思想,考查函数在动态几何问题中的应用.
例2 (2007年江西省中考数学试题21题)如图,在 中, , ．若动点 从点 出发,沿线段 运动到点 为止,运动速度为每秒2个单位长度．过点 作 交 于点 ,设动点 运动的时间为 秒, 的长为 ．
（1）求出 关于 的函数关系式,并写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时, 的面积 有最大值,最大值为多少?
【解】（1） , ．
．又 , , , , ．
．
自变量 的取值范围为 ．
（2）
．
当 时, 有最大值,且最大值为 ．（或用顶点公式求最大值）
【点评】线段的长度、图形的面积和点的运动时间形成了函数的对应关系,不仅考查了函数在动态几何问题中的应用,还考查了一次函数、二次函数的建模思想和二次函数的最值问题,具有较强的综合性,较好的落实了课程标准对一次函数、二次函数在应用方面的考查.
【教学的启示】函数是初中数学的核心内容,也是重要的基础知识和重要的数学思想, 其中二次函数思想不仅是学生掌握数学知识的需要,也是学生后继学习必须具备的能力. 在中考中很多题目的综合程度和难度都比教材上题目难,因此在教学中有必要加强相关知识的训练,应注意培养学生的函数思想,并使学生积累函数运用方面的经验.
三.突出过程,注重体验,考查学生思维能力.
《数学课程标准》强调注重经历几何建模过程和发现、探究过程,强调培养学生的几何直觉和空间观念,体现直观几何、实验几何到推理几何的自然过渡. 数学课程改革把重视“过程”教学作为重要的理念.
例3 (2007年江西省中考数学试题24题)在同一平面直角坐标系中有6个点：
, , ．
（1）画出 的外接圆⊙P,并指出点 与⊙P的位置关系；
（2）若将直线 沿 轴向上平移,当它经过点 时,设此时的直线为 ．
①判断直线 与⊙P的位置关系,并说明理由；
②再将直线 绕点 按顺时针方向旋转,当它经过点 时,设此时的直线
为 ．求直线 与⊙P的劣弧 围成的图形的面积（结果保留 ）．
【解】（1）所画⊙P如图所示,由图可知⊙P的半径为 ,而 ．
点 在⊙P
（2）① 直线 向上平移1个单位经过点 ,且经过点 ,
, , ．
．
则 , ． 直线 与⊙P相切．
（② , , ．
．
, ．
直线 与劣弧 围成的图形的面积为 ．
【点评】本题是以网格为背景,并依托于直角坐标系来呈现试题内容,因此试题觉得平实而又有新意,特别是问题设置,一方面是从点与圆位置关系,直线与圆的位置关系,与圆有关计算为主线展开.另一方面每操作一步提出一个问题,考生就得解决这个问题,使问题呈现紧凑而有序,这种问题设置新颖别致自然,增加了试题的信度和效度.由于试题呈现角度新颖,咋眼一看是一道纯知识型考查题,其实它是以考查基础知识托出能力的考查,主要是因为试题内容表述简洁,图形被隐去,无形之中增加了考生的思维量,当然能力要求也有所加强,加之串插了画图、平移、旋转等操作情景,更充分地体现了动手能力和空间想象能力的考查,再者将勾股定理及逆定理,三角形全等,圆的有关性质,切线的判定,圆的有关计算都以D点为链接点高度整合在一起,将圆的有关知识点自然的融合在一起,因此又是对考生的综合能力的考查.符合关于空间与图形的突出过程,注重体验和思维的精神,也符合关于淡化“圆”中演绎证明的要求.
【教学的启示】在教学中注重探索图形与空间的性质和变化规律,重视发展空间观念和几何直觉的教学,在直觉发现、探究交流和逐步的有条理思考的过程中自然引导学生体会证明的必要性.重视知识的形成、发展过程,解题思路的探索过程,注重思维,教学中加强过程教学,真正做到结论和过程并重.在“圆”的教学中落实基础知识、基本技能的掌握.[2]
四. 突出数学活动,注重数学素养,考查探究与推理.
数学活动是指为了解决某一数学问题或用数学来解决实际问题时所进行的一系列活动,如观察分析、操作实验、抽象概括、归纳类比、推理计算、提出猜想、进行证明等.
数学素养主要表现在：具有较扎实的基础知识与基本技能,能灵活地运用所学数学知识解决力所能及的实际问题和数学本身问题；能用数学的眼光观察现实生活,并能提出某些数学问题；能够用数学的思维方式来思考、分析问题；能够对数学与社会生活的关系及其作用有正确的认识等方面. [3]
例4 (2006年江西省中考数学试题23题•课标卷)如图,在梯形纸片
ABCD中,AD‖BC,AD > CD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落
在AD上的点C′处,折痕DE交BC于点E,连结C’E
（1）求证：四边形CDC’E是菱形；
（2）若BC = CD + AD,试判断四边形ABED的形状,并加以证明.
【解】（1）证明：根据题意,可知：
CD = C’D,∠C’DE =∠CDE,CE = C’E,
∵ AD‖BC, ∴ ∠C’DE =∠CED.
∴ ∠CDE =∠CED. ∴ CD = CE.
∴ CD = C’D = C’E = CE.
∴ 四边形CDC’E为菱形.
（2）答：当BC = CD + AD时,四边形ABED是平行四边形.
证明：由（1）知CE = CD.
∵ BC = CD + AD, ∴ AD = BE.
又∵ AD‖BE, ∴ 四边形ABED为平行四边形.
【点评】折叠问题是动手操作题之一,从实验操作中体现了对学生“操作----发现----猜想----证明”的能力的考查. 涉及的知识有平行四边形、菱形、梯形等基础知识,考查四边形这一章知识的主要知识.
第(2)问是探索题,考查了学生的探究能力.
【教学的启示】利用动手折纸等操作行为载体编制考试题目,不仅可考查学生对于矩形、梯形、正方形等基础知识的掌握程度,而且还可考查数形结合等数学思想和方法.教学中注意充分利用学习用具的直观和易操作性来把握基本图形,引导学生多动手、多观察、多分析、抓住问题的实质.
例5 (2007年江西省中考数学试题10题)如图,已知 ,
点 在 边上,四边形 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画
出 的平分线（请保留画图痕迹）．
【解】
【点评】本题表面看是动手作图题,其实核心还是考查对图形的性质分析和应用,以及对几何作图
工具的认识是体现几何知识在实践中的运用、自然,具有较高信度和效度.
【教学的启示】在平时的教学过程中,应尽量避免让学生死记硬背、机械操练,应积极引导学生把精力投入到对问题现象的分析,对问题本质的理解上来,把数学教活.
五.突出统计观念和概率应用,考查学生的信息意识.
《数学课程标准》强调注重学生统计观念和概率意识的形成与发展,注重在现实情境中理解统计与概率,体会它对决策的影响.统计与概率的学习,不是具体的知识、规律、法则,而是过程、思想和观念的学习.重视问题的背景及概率、统计在社会生活和科学领域中的应用,而不是把部分内容处理成纯计算的内容.
例6 (2006年江西省中考数学试题22题•课标卷) 某文具店销售的水笔只有A、B、C三种型号,下面表格和统计图分别给出了上月这三种型号水笔每支的利润和销售量.
A、B、C三种水笔销售量统计图
A、B、C三种水笔每支利润统计表
水笔型号 A B C
每支利润（元） 0.6 0.5 1.2
（1）分别计算该店上月这三种型号水笔的利润,并将利润分布情况用扇形统计图表示；
（2）若该店计划下月共进这三种型号水笔600支,结合上月销售情况,你认为A、B、C三种型号的水笔各进多少支总利润最高?此时所获得的总利润是多少?
【解】（1）A型水笔的利润为 0.6×300 = 180（元）
B型水笔的利润为 0.5×600 = 300（元）
C型水笔的利润为 1.2×100 = 120（元）
扇形统计图如图所示：
（2）进A型水笔300支,B型水笔200支,C型水笔100支,总利润最高.
此时所获得的总利润为 300×0.60＋200×0.50＋100×1.20 = 400（元）.
【点评】借助了源于学生生活实际背景的数据,体现了统计知识在实际中的重要作用,强调了对统计知识内容的考查一般应结合现实背景的考法特点；考查学生从统计表与统计图中合理获取数据信息并进行数据信息处理的能力,以及渗透考查学生在此前提下利用统计数据进行科学决策的能力水平.都大体遵循了
“获取信息---加工信息---科学应用”的模式,具有良好的效度、信度和推广性.
【教学的启示】统计图表是学生生活中常见的,读懂图表中的信息,是公民应具备的基本素养,也是新课程新增的内容之一,平时应结合报纸、学校等有关数据进行教学,使学生能真切体验到学习数学的用途.在教学中训练学生能根据统计结果做出合理的判断和预测,体会统计对决策的作用,能根据问题查找有关资料,获得数据信息,对日常生活中的某些数据发表自己的看法,初步形成对数据统计过程进行评价的意识.
以上6个例题从数学内容来看,有方程、不等式、一次函数、二次函数、四边形、圆、统计等,都是初中数学的核心内容；涉及的思想方法有方程思想、函数思想、数形结合思想、统计思想等.

二道中考题目.(如要答案,以后再发)