作业帮怎么证明刘维尔定理：定理叙述如下：假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 06:40:15
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怎么证明刘维尔定理：定理叙述如下：假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!
怎么证明刘维尔定理：定理叙述如下：假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!
怎么证明刘维尔定理：定理叙述如下：假设u是R^n上的有界调和函数,则u是常数.万分感谢!
任取两点a和b,分别以a和b为球心,R为半径做两个闭球B_a和B_b
当R->+oo时,lim V(B_a\B_b)/V(B_a) = 0 （V表示体积）
也就是说两个球趋于重合
利用调和函数的均值性质,f(a)和f(b)分别是f在B_a和B_b上的平均值,
f在B_a∩B_b上的均值记为u,在B_a\B_b上的均值记为v,在B_b\B_a上的均值记为w
那么f(a) = [V(B_a∩B_b)*u + V(B_a\B_b)*v] / V(B_a)
f(b) = [V(B_a∩B_b)*u + V(B_b\B_a)*w] / V(B_b)
注意V(B_a)=V(B_b),V(B_a\B_b)=V(B_b\B_a),
所以f(a)-f(b)=V(B_a\B_b)/V(B_a) * (v-w)
当R->+oo时V(B_a\B_b)/V(B_a)->0,而(v-w)是有界量,所以f(a)-f(b) ->0,即f(a)=f(b)
用刘维尔定理证明一个积分不可积往往比较困难。用刘维尔第三、第四定理可以证明∫e^(kx )dx（k≠0）、∫e^(kx)/x dx（k≠0）、∫sinx/xdx、∫