作业帮在△ABC中,sin A=(sin B+sin C)/(cos B+cosC),判断△的形状
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 04:22:35
在△ABC中,sin A=(sin B+sin C)/(cos B+cosC),判断△的形状
在△ABC中,sin A=(sin B+sin C)/(cos B+cosC),判断△的形状
在△ABC中,sin A=(sin B+sin C)/(cos B+cosC),判断△的形状
sin A=(sin B+sin C)/(cos B+cosC) 即为cos B+cosC=(sinB+sinC)/sinA,
由正弦定理,sinA/a=sinB/b=sinC/c,所以(sinB+sinC)/sinA=(b+c)/a;
由余弦定理,cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac),cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),
因此由(b+c)/a=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab),
两边先约去a,乘以2可得:
2(b+c)
=(a^2+c^2-b^2)/c+(a^2+b^2-c^2)/b
=(a^2-b^2)/c+c+(a^2-c^2)/b+b
两边再消去b+c 可得：
b+c
=(a^2-b^2)/c+(a^2-c^2)/b (通分)
=[b(a^2-b^2)+c(a^2-c^2)]/(bc) (对分子因式分解)
=(a^2+bc-b^2-c^2)(b+c)/(bc)
等式左右再约去 b+c 可得：
a^2+bc-b^2-c^2=bc,消去bc即得 a^2=b^2+c^2
因此三角形是直角三角形,且角A是直角.
sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC)=2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)/[2cos((B+C)/2)cos((B-C)/2)=cos(A/2)/sin(A/2)=2sin(A/2)cos(A/2)，所以sin(A/2)=根号2/2,所以A=pai,是直角三角形
sinA=(sinB+sinC)/(cosB+cosC)
sinA(cosB+cosC)=(sinB+sinC)
sinAcosB+sinAcosC=sinAcosC+sinCcosA+sinBcosA+sinAcosB
(sinC+sinB)cosA=0
所以A=90
所以是直角三角形
我C……随便找个高中生都会啊……