作业帮证明：方程2^x-x^2=1有且仅有三个互异的实根
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 04:10:48
证明：方程2^x-x^2=1有且仅有三个互异的实根
证明：方程2^x-x^2=1有且仅有三个互异的实根
证明：方程2^x-x^2=1有且仅有三个互异的实根
设f(x)=2^x-x^2-1;
f‘(x)=ln2*2^x-2x;
f''(x)=ln2*ln2*2^x-2;单调,只有一个零点.
故f'(x)至多有两个零点.（roll定理,每两个零点间都有一个导数的零点）
所以f(x)至多三个零点.（理由同上）
当x趋于负无穷时f趋于负无穷.
f(0)=0,f(1)=0,f(2)=-1
令f(x)=2^x-x²-1, 则问题等价于函数f(x)有且仅有三个零点. 显然x=0, x=1是f(x)的两个零点. 此外, f(4)×f(5)=-1×6=-6<0表明f(x)在区间(4,5)内至少有一个零点. 这就证明了原方程至少有三个相异实根.
f'(x)=2^xln2-2x
f''(x)=2^x(ln2)²-2
令f''(x)=0得它的一个零点x...
全部展开
令f(x)=2^x-x²-1, 则问题等价于函数f(x)有且仅有三个零点. 显然x=0, x=1是f(x)的两个零点. 此外, f(4)×f(5)=-1×6=-6<0表明f(x)在区间(4,5)内至少有一个零点. 这就证明了原方程至少有三个相异实根.
f'(x)=2^xln2-2x
f''(x)=2^x(ln2)²-2
令f''(x)=0得它的一个零点x0=log(2)[2/(ln2)²]>2.
当x
f'(x0)=2/(ln2)²×ln2-2log(2)[2/(ln2)²]=2/ln2-2log(2)[2/(ln2)²]=2log(2)e-2log(2)[2/(ln2)²]<0
由于f'(0)=ln2>0, f(4)=16ln2-8>0, 所以f'(x)在(0,x0)与(x0,4)内各有一个零点, 且由f'(x)的单调性可知它只有这两个零点, 设为c, d, 且
当x
当c
因此, f(x)至多有三个零点, 即方程至多有三个实根.
综上, 原方程有三个不同实根.
收起