作业帮已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=n²,求数列{2^n•an}的前n项的和Tnn∈N+
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 03:32:49
已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=n²,求数列{2^n•an}的前n项的和Tnn∈N+
已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=n²,求数列{2^n•an}的前n项的和Tn
n∈N+
已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=n²,求数列{2^n•an}的前n项的和Tnn∈N+
a1=S1=1
n>1时,an=Sn-S(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1,
对a1=2-1=1,所以an=2n-1,
Tn=1*2+3*2^2+5*2^3+7*2^4+.+(2n-1)2^n （两边同乘以2得到下式）
2Tn= 1*2^2+3*2^3+5*2^4+.(2n-3)2^n+(2n-1)2^(n+1) （两式相减,得到下式）
-Tn= 2 +2*2^2+2*2^3+2*2^4+.2*2^n-(2n-1)2^(n+1)
-Tn=2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+.+2^(n+1)-(2n+1)2^(n+1)
-Tn=2+2^3[1-2^(n-1)]/(1-2)-(2n+1)2^(n+1)
Tn=-2+2^(n+2)-2^3+(2n+1)2^(n+1).
(方法大致如此,需要注意的是第四行与第五行的同类项对齐!）
n>=2时，an=Sn-Sn-1=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时，a1=S1=1符合a1=2*1-1=1
则an=2*n-1
设新数列为bn=2^n*an=2^n*（2n-1）
则Tn=1*2^1+3*2^2+5*2^3+...+（2n-1）*2^n
则2Tn=1*2^2+3*2^3+5*2^4+...+(2n-1)*2^(n+1...
全部展开
n>=2时，an=Sn-Sn-1=n²-(n-1)²=2n-1
n=1时，a1=S1=1符合a1=2*1-1=1
则an=2*n-1
设新数列为bn=2^n*an=2^n*（2n-1）
则Tn=1*2^1+3*2^2+5*2^3+...+（2n-1）*2^n
则2Tn=1*2^2+3*2^3+5*2^4+...+(2n-1)*2^(n+1)
（利用错位相减）
Tn-2Tn=1*2^1+3*2^2+5*2^3+...+（2n-1）*2^n-1*2^2+3*2^3+5*2^4+...+(2n-1)*2^(n+1)
=1*2^1+2*2^2+2*2^3+...+2*2^n-(2n-1)*2^(n+1)
=2*2^1+2*2^2+2*2^3+...+2*2^n-(2n-1)*2^(n+1)-2
=2*(2^1+2^2+2^3+...+2^n)-(2n-1)*2^(n+1)-2
=2*([2*(1-2^n)]/(1-2))-(2n-1)*2^(n+1)-2
=2^(n+2)-(2n-1)*2^(n+1)-2
=(3-2n)*2^(n+1)-6
即-Tn=(3-2n)*2^(n+1)-6
则Tn==(2n-3)*2^(n+1)+6
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