设f(x1,x2,x3)=x1²-4x1x2+8x1x3+4x2²+4x2x3+x3²,求一正交变换化f为标准形

设f(x1,x2,x3)=x1²-4x1x2+8x1x3+4x2²+4x2x3+x3²,求一正交变换化f为标准形
设f(x1,x2,x3)=x1²-4x1x2+8x1x3+4x2²+4x2x3+x3²,求一正交变换化f为标准形

设f(x1,x2,x3)=x1²-4x1x2+8x1x3+4x2²+4x2x3+x3²,求一正交变换化f为标准形
解: 二次型的矩阵 A =
1 -2 4
-2 4 2
4 2 1
|A-λE|=
1-λ -2 4
-2 4-λ 2
4 2 1-λ
=-(λ+4)(λ-5)^2
A的特征值为λ1=-4,λ2=λ3=5.
对λ1=-4, (A+4E)X=0 的基础解系为 a1=(2,1,-2)'
单位化得 c1=(2/3,1/3,-2/3)'
对λ2=λ3=5, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,1)',a3=(-1,2,0)'
正交化得 b2=(1,0,1)', b3=(1/2)(-1,4,1)
单位化得 c2=(1/√2,0,1/√2)', c3=(-1/3√2,4/3√2,1/3√2)
令C=(c1,c2,c3), 则C为正交矩阵, 且有
C^TAC=diag(-4,5,5).
令 X=CY, 则有
f=-4y1^2+5y2^2+5y3^2.
这类题目太费劲了 :(