在等腰三角形ABC中,角ABC=120度,点P是底边AC上一个动点,M,N分别是AB,BC的中点,PM+PN取最小值时P是AC中点怎么求证

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 06:21:55
在等腰三角形ABC中,角ABC=120度,点P是底边AC上一个动点,M,N分别是AB,BC的中点,PM+PN取最小值时P是AC中点怎么求证
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在等腰三角形ABC中,角ABC=120度,点P是底边AC上一个动点,M,N分别是AB,BC的中点,PM+PN取最小值时P是AC中点怎么求证
在等腰三角形ABC中,角ABC=120度,点P是底边AC上一个动点,M,N分别是AB,BC的中点,PM+PN取最小值时
P是AC中点
怎么求证

在等腰三角形ABC中,角ABC=120度,点P是底边AC上一个动点,M,N分别是AB,BC的中点,PM+PN取最小值时P是AC中点怎么求证
题目意思就是求AC边上一点到M、N的距离和最小
这种题目可以仿照求人牵马到河边喝水的做法
做M关于AC对称点M′,然后连接M′N,M′N与AC交点即为所求点P
做MM′⊥AC于D,NE⊥AC于E
原理：由于M、M′关于AC对称,所以MD=M′D,且MM′⊥AC
∠PDM=∠PDM′,PD=PD
△MDP≌△M′DP,PM=PM′
因此,求PM+PN的最小值即求PM′+PN的最小值
所以连接M′N,此时P、M′、N在一条直线上,则和最小
证明：AB=BC,AM=AB/2,CN=BC/2
所以AM=CN
∠MDA=∠NEC
∠A=∠C
所以△MDA≌△NEC,MD=NE,AD=CE
在△M′DP和△NEP中
∠M′PD=∠NPE,∠M′DP=∠NEP=90
M′D=MD=NE
所以△M′DP≌△NEP.DP=EP
因此AD+DP=CE+EP,即AP=CP.因此P是AC中点

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