作业帮已知圆x²+y²=4,过点A(4,0)作圆的割线ABC,则弦BC中点的轨迹方程为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 18:57:16
已知圆x²+y²=4,过点A(4,0)作圆的割线ABC,则弦BC中点的轨迹方程为
已知圆x²+y²=4,过点A(4,0)作圆的割线ABC,则弦BC中点的轨迹方程为
已知圆x²+y²=4,过点A(4,0)作圆的割线ABC,则弦BC中点的轨迹方程为
方法一、直接列方程求解（最基本但却是很笨的办法）
设过A（4,0）的直线方程：y=kx+b
则有,4k+b=0,b=-4k
y=kx-4k
x^2+K^2(x-4)^2=4
x^2(1+k^2)-8k^2x+16k^2-4=0
x1+x2=8k^2/(1+k^2)
相切的条件：k=±√3/3
x^2+(1/3)(x-4)^2=4,即,4x^2-8x+4=0,x=1
BC中点的轨迹：
令x=(x1+x2)/2,
2x+2xk^2=8k^2,k^2=x/(4-x),k=±√[x(4-x)]/(x-4)
y=k(x-4)=±√[x(4-x)]
y^2=4x-x^2
(x-2)^2+y^2-4=0
即,（x-2)^2+y^2=2^2
据上分析,定义域为：0≤x≤1
方法二、作图法（简单快捷）
自圆O作BC的垂线,垂足P.连接OB、OC
因为OB=OC=2,三角形OBC是等腰三角形,OP是BC的中点
在RtΔOPA中,连接斜边OA的中点Q、P
则有,OQ=OP=QA=2
可见,BC中点P与AO始终是直角三角形,且PQ恒等于2
Q(2,0),P的轨迹是圆心为Q,半径为2的圆：
（x-2)^2+y^2=2^2
由于AB与圆O相切时,OP=2,OA=4,∠AOP=30度
所以P(1,√3),即定义域：0=
解:连结O和BC的中点D，则
OD⊥BC
所以△ODA为直角三角形，D到OA中点(2,0)的距离等于2
即BC中点的轨迹方程为(x-2)²+y²=4
两圆的交点的横坐标为1，因为BC的中点不在圆x²+y²=4外
所以0≤x≤1
因此BC中点的轨迹方程为(x-2)²+y²=4(0≤x≤1)...
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解:连结O和BC的中点D，则
OD⊥BC
所以△ODA为直角三角形，D到OA中点(2,0)的距离等于2
即BC中点的轨迹方程为(x-2)²+y²=4
两圆的交点的横坐标为1，因为BC的中点不在圆x²+y²=4外
所以0≤x≤1
因此BC中点的轨迹方程为(x-2)²+y²=4(0≤x≤1)
收起
(x-2)²+y²=4,其中x∈[0,1]