已知平面ADE垂直于平面ABCD,三角形ADE是边长为a的等边三角形,ABCD是矩形,F是AB中点,EC与平面ABCD成30度角,求(1)四棱锥E-AFCD的体积(2)D点到平面EFC的距离
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 17:32:01
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已知平面ADE垂直于平面ABCD,三角形ADE是边长为a的等边三角形,ABCD是矩形,F是AB中点,EC与平面ABCD成30度角,求(1)四棱锥E-AFCD的体积(2)D点到平面EFC的距离
已知平面ADE垂直于平面ABCD,三角形ADE是边长为a的等边三角形,ABCD是矩形,F是AB中点,EC与平面ABCD成30度角,
求(1)四棱锥E-AFCD的体积(2)D点到平面EFC的距离
已知平面ADE垂直于平面ABCD,三角形ADE是边长为a的等边三角形,ABCD是矩形,F是AB中点,EC与平面ABCD成30度角,求(1)四棱锥E-AFCD的体积(2)D点到平面EFC的距离
(1)过E作EG⊥AD交AD于G,连结CG.
由面ADE⊥面ABCD,EG⊥AD,得:EG⊥面ABCD,进而得:EG⊥CG.
由等边三角形EAD,EG⊥AD,得:EG=√3EA/2,而EA=a,所以:EG=√3a/2.
在Rt△ECG中,∠ECG=30°,得:EC=2EG=√3a,
进而得:CG=√(EC^2-EG^2)=√(3a^2-3a^2/4)=3a/2.
由矩形ABCD得:CD⊥DG,容易求出DG=a/2,所以:
CD=√(CG^2-DG^2)=√(9a^2/4-a^2/4)=√2a.
可见ABCD的面积=AD×CD=a×√2a=√2a^2.
因为F是AB的中点,所以△BCF的面积=△ABC的面积/2=ABCD的面积/4,
得AFCD的面积=(3/4)ABCD的面积=3√2a^2/8,
于是:E-AFCD的体积=AFCD的面积×EG/3=(3√2a^2/8)×(√3a/2)/3=√6a^3/2.
(2)由BF=CD/2=√2a/2,得:CF=√(BF^2+BC^2)=√(a^2/2+a^2)=√3a/√2.
由面EAD⊥面ABCD,矩形ABCD,得:AB⊥EA,
进而得:EF=√(EA^2+AF^2)=√(a^2+a^2/2)=√3a/√2.
容易验证:EF^2+FC^2=EC^2,可见:EF⊥FC,
得:△EFC的面积=EF^2/2=3a^2/4.
设点D到面EFC的距离为h,则:△EFC的面积×h/3=E-AFCD的体积=√6a^3/2,
即:(3a^2/4)×h/3=√6a^3/2,于是:h=2√6a.