作业帮半径为R的圆铁皮,减去一个扇形,余下圆心角为θ的扇形,制成一个圆锥形的漏斗,当θ取何值时,漏斗的容积大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 19:09:37
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半径为R的圆铁皮,减去一个扇形,余下圆心角为θ的扇形,制成一个圆锥形的漏斗,当θ取何值时,漏斗的容积大
半径为R的圆铁皮,减去一个扇形,余下圆心角为θ的扇形,制成一个圆锥形的漏斗,当θ取何值时,漏斗的容积
大
半径为R的圆铁皮,减去一个扇形,余下圆心角为θ的扇形,制成一个圆锥形的漏斗,当θ取何值时,漏斗的容积大
设圆锥形容器底半径为r.高为h.则2πr＝αR,r＝αR/（2π）.h＝√（R²-r²）
选r为自变量,容器容积V＝（1/3）πr²h＝（1/3）πr²√（R²-r²）
对r求导：V′＝（1/3）πr[2R²-3r²]/√（R²-r²）.令V′＝0,
得到r＝√（2/3）R,
α＝2πr/R＝2π√（2/3）（弧度）＝360º×√（2/3）≈293°56′20〃
设所围圆锥的底面半径为r，高为h,根据题意得
2*pi*r=(2*pi-a)*R
所以r=(2*pi-a)*R/(2*pi) [【1】
h^2=R^2-r^2
h＝（R^2-r^2）^0.5 【2】
圆锥体积
V=1/3*pi*r^2*h 【3】
将【1】和【2】代入【3】
得到V＝1/24/pi^2*R^3*(-2*pi+a...
全部展开
设所围圆锥的底面半径为r，高为h,根据题意得
2*pi*r=(2*pi-a)*R
所以r=(2*pi-a)*R/(2*pi) [【1】
h^2=R^2-r^2
h＝（R^2-r^2）^0.5 【2】
圆锥体积
V=1/3*pi*r^2*h 【3】
将【1】和【2】代入【3】
得到V＝1/24/pi^2*R^3*(-2*pi+a)^2*(-a*(-4*pi+a))^(1/2) 【4】
对【4】求导，并令dV/da＝0
dV/da＝1/12/pi^2*R^3*(-2*pi+a)*(-a*(-4*pi+a))^(1/2)+1/48/pi^2*R^3*(-2*pi+a)^2/(-a*(-4*pi+a))^(1/2)*(4*pi-2*a)＝0
解得：
a =
[ 2*pi]
[ 2*pi+2/3*6^(1/2)*pi]
[ 2*pi-2/3*6^(1/2)*pi]
显然，a=2*pi和a=2*pi+2/3*6^(1/2)*pi不合理
收起
2π根号（2/3）