作业帮在三角形ABC中角B=2倍角C,求证:AC2=AB2+BC乘AB
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/07 01:11:47
在三角形ABC中角B=2倍角C,求证:AC2=AB2+BC乘AB
在三角形ABC中角B=2倍角C,求证:AC2=AB2+BC乘AB
在三角形ABC中角B=2倍角C,求证:AC2=AB2+BC乘AB
∵角B=2倍角C
∴sinB=sin2C=2sinCcosC
根据正弦定理：sinB=b/(2R),sinC=c/(2R)
根据余弦定理：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
∴b=2c*(a²+b²-c²)/(2ab)
∴ab²=a²c+b²c-c³
a²c+b²c-c³-ab²=0
c(a²-c²)+b²(c-a)=0
∴c(a-c)(a+c)+(c-a)b²=0
∴(a-c)(ac+c²-b²)=0
∴ac+c²-b²=0或a=c
b²=c²+ac或a=c
AC²=AB²+BC×AB,或BC=AB
加条件吧,（非等腰)将BC=AB否定
剩下 AC²=AB²+BC×AB
因为：AC/ sinB=AB/ sinC=BC/ sinA=k，把边都用角带入，即证明：sin^2(2C)=sin^2(C)+sin(180-3C)*sin(C)=sin^2(C)+sin(3C)*sin(C)
=>4sin^2(C)cos^2(C)=sin^2(C)(1+cos(2C))+2sin^2(C)cos^2(C)=4sin^2(C)cos^2(C)
题目：在三角形ABC中∠B=2∠C,求证:AC^2=AB^2+BC*AB
证明：
过A点作BC的垂线，交BC于D，则△ADC与△ADB为直角三角形，则
AC^2=AD^2+CD^2
=AB^2-BD^2+CD^2
=AB^2+(CD+BD)*(CD-BD)
=AB^2+BC*(CD-BD)
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题目：在三角形ABC中∠B=2∠C,求证:AC^2=AB^2+BC*AB
证明：
过A点作BC的垂线，交BC于D，则△ADC与△ADB为直角三角形，则
AC^2=AD^2+CD^2
=AB^2-BD^2+CD^2
=AB^2+(CD+BD)*(CD-BD)
=AB^2+BC*(CD-BD)
在CD上选择一点E，使得DE=BD，则AD是△BAE边BE的垂直平分线，
∴AB=AE
∴∠ABD=∠AED=2∠C，
又∵∠AED=∠EAC+∠C
∴∠C=∠EAC，
∴CE=AE，CE=AB
∴CD-BD=CD-DE=CE=AB
∴AC^2=AB^2+BC*(CD-BD)=AB^2+BC*AB
∴AC^2=AB^2+BC*AB
收起
证明：作∠ABC的平分线BD交AC于D。
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠CBD=∠C
∴BD=DC
∵∠ABD=∠C ∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB
∴AB/BD=AC/CB AB/AD=AC/AB
∴AB*BC=BD*AC=DC*AC AB²=AD*AC
两式相加AB*BC+AB²=AC²
如图，做∠B的角平分线BD交AC于D点。 ∵ΔABC与ΔADB对应角相等 ∴其对应边长成比例： AB/AD=BC/DB=AC/AB 有ΔBCD为等腰三角形，DB=DC 而AD+DC=AC 故AC^2=AB^2+BC*AB