证明:设A:V→U是向量空间V,U的线性映射,则以下两条等价1、A是满射2、若Ω是V的生成集,则A(Ω):={A(ω )|ω∈Ω}是U的生成集
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 16:39:27
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证明:设A:V→U是向量空间V,U的线性映射,则以下两条等价1、A是满射2、若Ω是V的生成集,则A(Ω):={A(ω )|ω∈Ω}是U的生成集
证明:设A:V→U是向量空间V,U的线性映射,则以下两条等价
1、A是满射
2、若Ω是V的生成集,则A(Ω):={A(ω )|ω∈Ω}是U的生成集
证明:设A:V→U是向量空间V,U的线性映射,则以下两条等价1、A是满射2、若Ω是V的生成集,则A(Ω):={A(ω )|ω∈Ω}是U的生成集
1->2由A是满射,可以得出任意u∈U,存在v∈V,A(v)=u
而v由Ω生成,所以v=k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs
u=A(v)= A(k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs) = k1A(ω1)+k2A(ω2) +...+ksA(ωs)
由于左侧是U中任意一个元素,A(ω1),A(ω2) ,...,A(ωs)必须能线性表示U中任意向量
所以他们构成的集合是U的生成集合
2->1:同理,如果U中任意一个向量能由A(Ω)生成
u=k1A(ω1)+k2A(ω2) +...+ksA(ωs) = A(v)
所以对于任意v都可以找到v=k1 ω1 +k2ω2 +...+ksωs使得它是v的原像
得证
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证明:设A:V→U是向量空间V,U的线性映射,则以下两条等价1、A是满射2、若Ω是V的生成集,则A(Ω):={A(ω )|ω∈Ω}是U的生成集
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