如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 14:30:18
如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.
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如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.
如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆
直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.

如图,在三角形ABC中,角C=90°.CD⊥AB,I1、I2为△CAD、△CDB内切圆直线I1I2交AC于点M,交BC于点N,交CD于点K.求证：CM=CD=CN.
设:圆I1(圆心为I1)和AD的切点为E,和CD的切点为F；圆I2(圆心为I2)和CD的切点为G,和DB的切点为H.在△AEI1和△CGI2中,∠I1AE=∠CAD/2=∠BCD/2=∠I2CG(内切圆性质),∠I1EA=∠I2GC=90°(内切圆性质),所以△AEI1和△CGI2相似,所以GI2/EI1=CG/AE=(CD-GD)/(AD-ED)=(CD-GI2)/(AD-EI1)(四边形I1EDF和I2GDH为正方形),所以GI2/EI1=(CD-GI2+GI2)/(AD-EI1+EI1)=CD/AD(比例性质)①；直线I1I2的斜率为(I2H-I1E)/(GI2+FI1)=(GI2-EI1)/(GI2+EI1)=[(GI2/EI1)-1]/[(GI2/EI1)+1]=[(CD/AD)-1]/[(CD/AD)+1]=(tan∠CAD-1)/(tan∠CAD+1)=(tan∠CAD-tan45°)/(1+tan∠CADtan45°)=tan(∠CAD-45°),所以∠CMN=45°,所以∠CNM=90°-45°=45°,所以△CMN为等腰直角三角形,所以CM=CN②；在△CMI1和△CDI1中,∠MCI1=∠DCI1=∠ACD/2(内切圆性质),∠CDI1=45°(DI1为正方形I1EDF的对角线)=∠CMI1,CI1=CI1(公共边),所以△CMI1和△CDI1全等,所以CM=CD③；综上所述,CM=CD=CN(证毕).

在△AEI1和△CGI2中，∠I1AE=∠CAD/2=∠BCD/2=∠I2CG(内切圆性质)，∠I1EA=∠I2GC=90°(内切圆性质)，所以△AEI1和△CGI2相似，所以GI2/EI1=CG/AE=(CD-GD)/(AD-ED)=(CD-GI2)/(AD-EI1)(四边形I1EDF和I2GDH为正方形)，所以GI2/EI1=(CD-GI2+GI2)/(AD-EI1+EI1)=CD/AD(比例...

全部展开

在△AEI1和△CGI2中，∠I1AE=∠CAD/2=∠BCD/2=∠I2CG(内切圆性质)，∠I1EA=∠I2GC=90°(内切圆性质)，所以△AEI1和△CGI2相似，所以GI2/EI1=CG/AE=(CD-GD)/(AD-ED)=(CD-GI2)/(AD-EI1)(四边形I1EDF和I2GDH为正方形)，所以GI2/EI1=(CD-GI2+GI2)/(AD-EI1+EI1)=CD/AD(比例性质)①；直线I1I2的斜率为(I2H-I1E)/(GI2+FI1)=(GI2-EI1)/(GI2+EI1)=[(GI2/EI1)-1]/[(GI2/EI1)+1]=[(CD/AD)-1]/[(CD/AD)+1]=(tan∠CAD-1)/(tan∠CAD+1)=(tan∠CAD-tan45°)/(1+tan∠CADtan45°)=tan(∠CAD-45°)，所以∠CMN=45°，所以∠CNM=90°-45°=45°，所以△CMN为等腰直角三角形，所以CM=CN②；在△CMI1和△CDI1中，∠MCI1=∠DCI1=∠ACD/2(内切圆性质)，∠CDI1=45°(DI1为正方形I1EDF的对角线)=∠CMI1，CI1=CI1(公共边)，所以△CMI1和△CDI1全等，所以CM=CD③；综上所述，CM=CD=CN(证毕)。 55

收起

如图在三角形ABC中,角C=90°,角A=22.5°. 如图,三角形abc中,角c=90 如图,在三角形ABC中,角C=90°……剩下的如图 如图,在三角形abc中,角c 急 如图,在三角形ABC中,已知角C=60°,AC>BC,又三角形ABC',三角形BCA',三角形CAB都是等边三角形,点D在AC 如图,在rt三角形ABC中,角c=90º 如图,在三角形abc中,角abc=2角c 如图,在三角形abc中,角c=90°,ad是三角形abc的角平分线,ab=ac+cd,求证ac=bc 如图,在Rt三角形ABC中,∠C=90°,b+c=24 角A-角B=30°,求a、b、c 如图 在rt三角形abc中,角c等于45° 如图,在rt三角形abc中,角c等于45°,角cab的平 如图,在RT三角形ABC中,角C=90°,求SinA和SinB的值 如图,在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,角ACB=30度,把三角形ABC绕点C按逆时针如图,在Rt三角形ABC中,角ACB=90°，角ACB=30度，把三角形ABC绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度为α（1）当三角形ADA,是等腰三 已知如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,将三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转得三角形A'B已知如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,将三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转得三角形A'B'C,A'B'分别交AB于D,E 如图,在三角形ABC中,角C等于90度 如图在rt三角形abc中,角c＝90度,ab等于10厘米. 如图,在三角形ABC中,角B=角C,说明AB=AC 如图,在三角形abc中,角b=角c 求证 ab=ac 如图,在三角形ABC中,角b等于角c说明ab=ac