作业帮试求x^111-x^31+x^13+x^9-x^3被x+1除所得的余式.请详细写清楚计算过程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 18:43:09
试求x^111-x^31+x^13+x^9-x^3被x+1除所得的余式.请详细写清楚计算过程.
试求x^111-x^31+x^13+x^9-x^3被x+1除所得的余式.
请详细写清楚计算过程.
试求x^111-x^31+x^13+x^9-x^3被x+1除所得的余式.请详细写清楚计算过程.
x^111-x^31+x^13+x^9-x^3
= (x^111 + x^110) - (x^110 + x^109) + (x^109 + x^108) - ……
+ (x^33 + x^32) - (x^32 + x^31) + (x^13 + x^9 - x^3)
上式中,除最后三项外,均已经可以被 (x+1) 整除.接下来考虑后三项
x^13 + x^9 - x^3
= (x^13 + x^12) - (x^12 + x^11) + (x^11 + x^10) - (x^10 + x^9) + (2x^9 - x^3)
上式中,除最后一项外,均已经可以被 (x+1) 整除.接下来考虑后二项
2x^9 - x^3
= 2(x^9 + x^8) - 2(x^8 + x^7) + …… 2(x^5 + x^4) - 2(x^4 + x^3) + x^3
上式中,除最后一项外,均已经可以被 (x+1) 整除.接下来考虑最后项
x^3
= (x^3 + x^2) - (x^2 + x) + (x + 1) - 1
因此,最后的余式为 -1
因为余式必是常数，所以把x=-1代入算得的结果就是，奇指数不管。
(-1)-(-1)+(-1)+(-1)-(-1)=-1
∵x^(n+1)+x^n=x^n(x+1)
∴(x+1)|(x^(n+1)+x^n)
即凑x^(n+1)+x^n形
原式=(x^111+x^110)-(x^110+x^109)+(x^109+x^108)-...+(x^33+x^32)-(x^32+x^31)+x^13+x^9-x^3
余x^13+x^9-x^3
=(x^13+x^12)-(x^12+x^1...
全部展开
∵x^(n+1)+x^n=x^n(x+1)
∴(x+1)|(x^(n+1)+x^n)
即凑x^(n+1)+x^n形
原式=(x^111+x^110)-(x^110+x^109)+(x^109+x^108)-...+(x^33+x^32)-(x^32+x^31)+x^13+x^9-x^3
余x^13+x^9-x^3
=(x^13+x^12)-(x^12+x^11)+(x^11+x^10)-(x^10+x^9)+2x^9-x^3
余2x^9-x^3
=2(x^9+x^8)-2(x^8+x^7)+...+2(x^5+x^4)-2(x^4+x^3)+x^3
余x^3
=(x^3+x^2)-(x^2+x)+(x+1)-1
余-1
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