一道关于周期函数的对称轴的题f(x+2)=-f(x),f(x)是奇函数,求f(x)的对称轴,老师说是直线x=1+4k,(k属于Z)因为f(x)周期为4 ,但我觉得直线x=1+2k(k属于z)就可以了,求助和老师完全说不通,硬是要我拿出证
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/06 10:38:16
![一道关于周期函数的对称轴的题f(x+2)=-f(x),f(x)是奇函数,求f(x)的对称轴,老师说是直线x=1+4k,(k属于Z)因为f(x)周期为4 ,但我觉得直线x=1+2k(k属于z)就可以了,求助和老师完全说不通,硬是要我拿出证](/uploads/image/z/8324823-39-3.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E8%BD%B4%E7%9A%84%E9%A2%98f%28x%2B2%29%3D-f%28x%29%2Cf%28x%29%E6%98%AF%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E8%BD%B4%2C%E8%80%81%E5%B8%88%E8%AF%B4%E6%98%AF%E7%9B%B4%E7%BA%BFx%3D1%2B4k%2C%28k%E5%B1%9E%E4%BA%8EZ%29%E5%9B%A0%E4%B8%BAf%28x%29%E5%91%A8%E6%9C%9F%E4%B8%BA4+%2C%E4%BD%86%E6%88%91%E8%A7%89%E5%BE%97%E7%9B%B4%E7%BA%BFx%3D1%2B2k%28k%E5%B1%9E%E4%BA%8Ez%29%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E4%BA%86%2C%E6%B1%82%E5%8A%A9%E5%92%8C%E8%80%81%E5%B8%88%E5%AE%8C%E5%85%A8%E8%AF%B4%E4%B8%8D%E9%80%9A%2C%E7%A1%AC%E6%98%AF%E8%A6%81%E6%88%91%E6%8B%BF%E5%87%BA%E8%AF%81)
一道关于周期函数的对称轴的题f(x+2)=-f(x),f(x)是奇函数,求f(x)的对称轴,老师说是直线x=1+4k,(k属于Z)因为f(x)周期为4 ,但我觉得直线x=1+2k(k属于z)就可以了,求助和老师完全说不通,硬是要我拿出证
一道关于周期函数的对称轴的题
f(x+2)=-f(x),f(x)是奇函数,求f(x)的对称轴,老师说是直线x=1+4k,(k属于Z)因为f(x)周期为4 ,但我觉得直线x=1+2k(k属于z)就可以了,求助
和老师完全说不通,硬是要我拿出证明来.
一道关于周期函数的对称轴的题f(x+2)=-f(x),f(x)是奇函数,求f(x)的对称轴,老师说是直线x=1+4k,(k属于Z)因为f(x)周期为4 ,但我觉得直线x=1+2k(k属于z)就可以了,求助和老师完全说不通,硬是要我拿出证
你是对的,f(x)的对称轴为x=2k+1,k∈Z
过半周期对称轴就出现一条
【本题证明】
∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
又∵f(x+2)=-f(x)
∴f(x+2)=f(-x)
将x换成-1+x得:
f(1+x)=f(1-x)
∴f(x)图像关于直线x=1对称
∵f(1+x)=-f(3+x)
f(1-x)=-f(3-x)
∴f(3+x)=f(3-x)
∴f(x)图像关于直线x=3对称
f(5+x)=f(1+x)
f(5-x)=f(1-x)
∴f(x)图像关于直线x=3对称
当k为偶数时,f(1+x)=f[(2k+1)+x]
f(1-x)=f[(2k+1)-x]
∴f[(2k+1)+x]=f[(2k+1)-x]
当k为奇数时,f(1+x)=-f[(2k+1)+x]
f(1-x)=-f[(2k+1)-x]
∴f[(2k+1)+x]=f[(2k+1)-x]
即是总有f[(2k+1)+x]=f[(2k+1)-x]
∴f(x)的对称轴为x=2k+1,k∈Z