已知椭圆x2/25+y2/9=1,直线l:4x+5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最大.最大距离是多少

已知椭圆x2/25+y2/9=1,直线l:4x+5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最大.最大距离是多少
已知椭圆x2/25+y2/9=1,直线l:4x+5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最大.最大距离是多少

已知椭圆x2/25+y2/9=1,直线l:4x+5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最大.最大距离是多少
设该点为（5cosa,3sina）
那么点到直线距离：d=｜20cosa+15sina+40｜/√41
令s=20cosa+15sina+40=√(20²+15²)sin(a+θ)+40
利用辅助角公式
这里tanθ=20/15=4/3
当sin(a+θ)=1的时候
s有最大值为65
所以d的最大值=65/√41=65√41/41
参考

提供一个简单的方法：操作思路：先做椭圆的切线L1并且让切线平行于l,可以得到两条，则一条离已知直线最远一条离已知直线最近，切点分别为最远的点和最近的点，下面依照这个思路求解相当简单
过椭圆上任一点（x0,y0)做椭圆的切线 L1：x0x/25+y0y/9=1 斜率为(-9x0)/(25y0)=-4/5(-4/5为l 的斜率) 得x0/y0=20/9 代入x0^2/25...

全部展开

提供一个简单的方法：操作思路：先做椭圆的切线L1并且让切线平行于l,可以得到两条，则一条离已知直线最远一条离已知直线最近，切点分别为最远的点和最近的点，下面依照这个思路求解相当简单
过椭圆上任一点（x0,y0)做椭圆的切线 L1：x0x/25+y0y/9=1 斜率为(-9x0)/(25y0)=-4/5(-4/5为l 的斜率) 得x0/y0=20/9 代入x0^2/25+y0^2/9=1 得两组解x0= 2 y0=9/5或x0= -2 y0=-9/5
直线l在第三象限，
所以距离最近的点是x0= -2 y0=-9/5 ，距离为│4x0+5y0+40│/√(4^2+5^2)=23√41/41（点到直线的距离）
距离最远的点是x0= 2 y0=9/5，距离为│4x0+5y0+40│/√(4^2+5^2)=57√41/41

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