作业帮如图,△ABC中,∠ACB=90°,D,G分别为AB,AC的中点,I为DG上一点,IH⊥BC只要第二问
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 02:10:30
如图,△ABC中,∠ACB=90°,D,G分别为AB,AC的中点,I为DG上一点,IH⊥BC只要第二问
如图,△ABC中,∠ACB=90°,D,G分别为AB,AC的中点,I为DG上一点,IH⊥BC
只要第二问
如图,△ABC中,∠ACB=90°,D,G分别为AB,AC的中点,I为DG上一点,IH⊥BC只要第二问
证明：
连接IC, 先证明AI=CI
因为D,G分别为AB, AC的中点,
∴DG‖BC,∠AGD＝∠ACB=90°（注：‖为“平行于”）
∠AGI=∠CGI=90°
又AG=CG, GI=GI, 由全等三角形的边角边定理得
△AGI全等于△CGI
∴ AI=CI
当∠1=∠2时（即∠CAE=∠CBF）时,
∵△AGI全等于△CGI
∴∠ICG=∠IAG=∠1=∠2=∠CBI (1)
又∵DG‖BC,由内错角相等得：
∠GIC=∠BCI (2)
由(1)、(2)两式得△ICG与△CBI中有两个角相等,
∴△ICG∽△CBI,
由相似三角形的对应边成比例得：
IC/IG=CB/CI
∴IC^2=BC*GI (3)
IH⊥BC,DG‖BC
∴IH⊥DG,由勾股定理得：
DH^2=IH^2+DI^2
=GC^2+(DG-GI)^2
=GC^2+GI^2-2*DG*GI+DG^2
=IC^2-2*DG*GI+DG^2 (4)
将(3)式以及2*DG=BC代入(4)式得
DH^2=BC*GI-2*DG*GI+DG^2
=BC*GI-BC*GI+DG^2
=DG^2
∴DG=DH
法2作BC的中点K,连结KD、KI、CI
∴KD‖AC‖HI
∵ID‖HK,∠IHB＝90°
∴四边形HIDK是矩形
∴KI＝DH
∵DG‖BC,AG＝CG
∴AI＝IE(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线一定平分第三边)
∴CI＝1/2AE＝AI
∴∠ACI＝∠1＝∠2
∵∠2＋∠CFI＝90°
∴∠ACI＋∠CFI＝90°
∴∠CIF＝90°
∴KI＝1/2BC
∵DG是△ABC的中位线
∴DG＝1/2BC
∴DG＝KI＝DH
法3接IC, 先证明AI=CI
因为D,G分别为AB, AC的中点,
∴DG‖BC,∠AGD＝∠ACB=90°（注：‖为“平行于”）
∠AGI=∠CGI=90°
又AG=CG, GI=GI, 由全等三角形的边角边定理得
△AGI全等于△CGI
∴ AI=CI 其他回答：
作BC的中点J,连结JD、JI、CI
∴JD‖AC‖HI
∵ID‖HK,∠IHB＝90°
∴HIDJ为矩形
∴JI＝DH（矩形对角线相等）
∵DG‖BC,AG＝CG
∴AI＝IE(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线一定平分第三边)
∴CI＝1/2AE＝AI（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠ACI＝∠1＝∠2
∵∠ACI＋∠BCI＝90°
∴∠2＋∠CFI＝90°
∴∠CIB＝90°
∴JI＝1/2BC
∵DG是△ABC的中位线
∴DG＝1/2BC
∴DG＝JI＝DH