作业帮x^2/36+y^2/9=1的弦被点（4,2）平分,则此弦所在的直线的斜率为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 12:10:09
x^2/36+y^2/9=1的弦被点（4,2）平分,则此弦所在的直线的斜率为多少?
x^2/36+y^2/9=1的弦被点（4,2）平分,则此弦所在的直线的斜率为多少?
x^2/36+y^2/9=1的弦被点（4,2）平分,则此弦所在的直线的斜率为多少?
若斜率不存在,则弦是x=4,代入验证,两交点中点是(4,0),不合题意
若斜率存在
则y-2=k(x-4)
y=kx+(2-4k)
代入椭圆,两边乘36
x^2+4[kx+(2-4k)]^2=36
(1+4k^2)+8k(2-4k)x+4(2-4k)^2-36=0
x1+x2=-8k(2-4k)/(1+4k^2)
中点横坐标是4
所以(x1+x2)/2=4
-4k(2-4k)/(1+4k^2)=4
4k^2-2k=4k^2+1
k=-1/2
椭圆方程化成标准形式，x^2/4+y^2/9=1,长轴在Y轴，焦点坐标为F1（0，-√5），F2（0，√5），直线通过焦点，则直线方程为：y=2x+√5,y=2x-√5,两个弦长度相等，根据弦长公式，|AB|=√（1+k^2)(x1-x2)^2=√5[(x1+x2)^2-4x1*x2],把直线方程代入圆方程，9x^2+4(2x+√5)^2=36,
整理得：25x^2+16√5x-16=0，...
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椭圆方程化成标准形式，x^2/4+y^2/9=1,长轴在Y轴，焦点坐标为F1（0，-√5），F2（0，√5），直线通过焦点，则直线方程为：y=2x+√5,y=2x-√5,两个弦长度相等，根据弦长公式，|AB|=√（1+k^2)(x1-x2)^2=√5[(x1+x2)^2-4x1*x2],把直线方程代入圆方程，9x^2+4(2x+√5)^2=36,
整理得：25x^2+16√5x-16=0，根据韦达定理，x1+x2=-16√5/25,x1*x2=-16/25,将以上二值代入弦长公式，得：|AB|=24/5.
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