极坐标下的二重积分计算?∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ 之后就转化为二次积分,我不明白的是=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 二次积分的区间我没写打不出来!,我文的是∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 好的在送

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 08:42:08
极坐标下的二重积分计算?∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ 之后就转化为二次积分,我不明白的是=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 二次积分的区间我没写打不出来!,我文的是∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 好的在送
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极坐标下的二重积分计算?∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ 之后就转化为二次积分,我不明白的是=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 二次积分的区间我没写打不出来!,我文的是∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 好的在送
极坐标下的二重积分计算?
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ 之后就转化为二次积分,我不明白的是=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 二次积分的区间我没写打不出来!,我文的是∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 好的在送100分!
你们没听懂我的意思，极坐标的rdrdθ我看懂了，转化二次我也看懂了。但是首先的∫f(rcosθ,rsinθ)rdr ，就如一楼说的dθ提到前面了，但为什么直角坐标系的转二次积分时候，第一次的积分是有几何意义的，但这次我看不懂f(rcosθ,rsinθ)rdr 他的几何意义！rdrdθ 应该是rdθ乘以dr用近似矩形代替扇形面积，我能看懂，但它那个是很么意思！

极坐标下的二重积分计算?∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ 之后就转化为二次积分,我不明白的是=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 二次积分的区间我没写打不出来!,我文的是∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 好的在送
rdrdθ 是进行坐标变换的产物.
dxdy=rdrdθ ,这是从直角坐标系变换到极坐标系.
其中的r是由雅可比行列式计算得出的.
也可以直接由面积公式计算,极坐标下ds=rdθ * dr=rdrdθ
之所以只见到rdr,是因为dθ提到前面去了
进行等量代换不一定都有几何意义的.
f(rcosθ,rsinθ)rdr这种东西的几何意义可以理解为面密度为f(rcosθ,rsinθ)时圆的面积的1/π

我也有楼主同样的疑问，解答没有看清楚呀，我听我同学说数学分析有解答，你可以去找找看

前面那位回答已经很清楚，我从几何意义上作一些解释：
极坐标系下的面积微元与直角坐标系下的面积微元完全不同，后者是边长分别是dx和dy的矩形，前者则是两个同心的扇形之间的部分：
从极点出发化两条射线，它们之间的夹角是 dθ，在角的一边上标出两个点，一个是 r,另一个是 r+dr，然后分别以 r 和 dr 为半径画圆弧与另一条边相交，两个圆弧之间的平面图形就是极坐标系下...

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前面那位回答已经很清楚，我从几何意义上作一些解释：
极坐标系下的面积微元与直角坐标系下的面积微元完全不同，后者是边长分别是dx和dy的矩形，前者则是两个同心的扇形之间的部分：
从极点出发化两条射线，它们之间的夹角是 dθ，在角的一边上标出两个点，一个是 r,另一个是 r+dr，然后分别以 r 和 dr 为半径画圆弧与另一条边相交，两个圆弧之间的平面图形就是极坐标系下的面积微元，它的面积就是dS.
下面计算dS：扇形面积等于半径的平方乘以圆心角的弧度数的一半，所以这个图形的面积等于 (1/2)[(r+dr)^2-r^2]dθ=[rdr+(1/2)(dr)^2]dθ;
注意当 dr 趋于零时 (dr)^2 是高阶无穷小，因此将其忽略，得到
dS=rdrdθ

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首先值得肯定，你是一位爱思考爱钻研的同学
我大概明白了，你是想知道每一步的几何意义吧
平面直角坐标系四四方方，从几何角度解释既可以整体考虑（两个积分号）f(x,y)dxdy，又可以分开一步步考虑（一个积分号）f(x,y)dx(或dy)
至于极坐标，整体说得通，分开似乎就不行了。我想，这时只能把第一步（或者说每一步）积分理解为“满足某种形式的需要”。
最后谈一点自己的...

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首先值得肯定，你是一位爱思考爱钻研的同学
我大概明白了，你是想知道每一步的几何意义吧
平面直角坐标系四四方方，从几何角度解释既可以整体考虑（两个积分号）f(x,y)dxdy，又可以分开一步步考虑（一个积分号）f(x,y)dx(或dy)
至于极坐标，整体说得通，分开似乎就不行了。我想，这时只能把第一步（或者说每一步）积分理解为“满足某种形式的需要”。
最后谈一点自己的想法
数学抽象最初当然来自于具体的事物，通俗的说即生产实践。从中提炼出来之后，经过若干牛人的加工处理，数学逐渐符号化，规范化。所以有些能够给出形象的解释，有些则不能在现实生活中找到对应的存在。比如一段连续曲线的积分是面颊，而Dirichlet函数的积分就说不清楚是什么东西了（或许在物理、化学的某些领域有“意义”）我想表达的意思是，你的问题可以当作茶余饭后的“休闲话题”，倒不必刨根问底。
ps 当初我学分析（或者说高数）的时候，精神也像你这样。结果费了很多时间，没抓住所谓的重点吧，成绩平平。不过可比那些达人快乐多了，嘿嘿。阿Q一个...

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rdθ是切向的长度，dr是径向的，rdrdθ就是小正方形的面积。这和dxdy是
一样的，不过坐标线取得不一样。
然后转化为2次之后，就开始按θ和r分步积分，基本上就纯粹是
代数手续，再要找几何解释就比较牵强了。就算对这样比较简单的例子你能
找到每一步的几何意义，但再复杂了，就可能没有简单的几何解释了。...

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rdθ是切向的长度，dr是径向的，rdrdθ就是小正方形的面积。这和dxdy是
一样的，不过坐标线取得不一样。
然后转化为2次之后，就开始按θ和r分步积分，基本上就纯粹是
代数手续，再要找几何解释就比较牵强了。就算对这样比较简单的例子你能
找到每一步的几何意义，但再复杂了，就可能没有简单的几何解释了。

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将直角坐标系下的二重积分化为极坐标下的二重积分：∫dx∫f(x,y)dy= 将二重积分∫∫f(x,y)dxdy化为极坐标下的二次积分D：(x-1)^2+(y-1)^2≤1 极坐标系下的二重积分计算∫∫（4-x-y）dxdy,D是圆域x×x+y×y 二重积分化极坐标计算∫∫X^2+Y^2dxdy区间 0 用极坐标计算二重积分∫∫[D]arctan(y/x)dxdy,其中=D:1 将二重积分∫∫f(x,y)dxdy表示为极坐标形式,D为0 用极坐标法计算二重积分∫∫x^2/y^2dxdy D:x=2,y=x,xy=1所围成的区域 将二重积分∫dx∫f(x,y)dy转化为极坐标系下的二次积分 一个重积分问题,请高手支援.用极坐标计算二重积分用极坐标计算二重积分,∫∫e^根号下(x^2+y^2)dxdy,其中D={(x,y)丨1≤x^2+y^2≤2} 二重积分∫∫Df(x,y)dxdy,其中D为X^2+Y^2≤4所确立的在第一象限中的区域,求二重积分化为极坐标下的二重积 极坐标下的二重积分 极坐标下的二重积分 二重积分In(1+x^2+y^2)dxdyx大于等于0 y大于等于0 x^2+y^2大于等于0 化为极坐标下的二重积分计算 用极坐标计算二重积分∫∫[D]e^(x^2+y^2)dxdy,其中=D:a^2 极坐标下二重积分的问题设区域D:x^2+y^2 极坐标下的二重积分计算?∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ 之后就转化为二次积分,我不明白的是=∫dθ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 二次积分的区间我没写打不出来!,我文的是∫f(rcosθ,rsinθ)rdr 好的在送 用极坐标计算二重积分,∫∫e^(x^2+y^2)dxdy,其中D={(x,y)丨x^2+y^2≤4} 利用极坐标计算二重积分∫∫(x^2+y^2)^(-1/2)dxdy,D:y=x与y=x^2所围成.