作业帮关于微分方程的解法的问题微分方程的解为什么分成齐次解和特解两部分?求齐次解过程为什么会用到特征根?感觉我的课本没讲到点子上，
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 11:58:37
关于微分方程的解法的问题微分方程的解为什么分成齐次解和特解两部分?求齐次解过程为什么会用到特征根?感觉我的课本没讲到点子上，
关于微分方程的解法的问题
微分方程的解为什么分成齐次解和特解两部分?
求齐次解过程为什么会用到特征根?
感觉我的课本没讲到点子上，
关于微分方程的解法的问题微分方程的解为什么分成齐次解和特解两部分?求齐次解过程为什么会用到特征根?感觉我的课本没讲到点子上，
首先,只有线性的微分方程才可以这样解,非线性的不行.
对于线性微分算子L,L[u(t)+v(t)]=L[u(t)]+L[v(t)],所以如果x1(t)和x2(t)是方程L[x(t)]=f(t)的任何两个解,必有L[x1(t)-x2(t)]=0,于是只要能求出齐次方程L[x(t)]=0的通解,再求出L[x(t)]=f(t)的任何一个解,就可以得到方程的所有解.
下面再看特征值方法,记D是求导算子,设L=p(D),其中p是一个多项式,那么做变量代换
y1(t)=x(t)
y2(t)=x'(t)=Dx(t)
y3(t)=x''(t)=D^2 x(t)
...
这样就可以把L[x(t)]=0写成一个大的矩阵形式A(D)Y(t)=0,其中Y(t)=[y1(t),y2(t),...]^T.（这个试一下,写一个看看就知道了）
这里的A其实相当于多项式p的友阵(Frobenius阵),而特征值方法就是把通过把这个矩阵对角化(或者说化Jordan标准型)的方法来求解这个微分方程.
你为什么不去看常微分方程第一章？
这个主要是齐次解的话解及其各阶导数就是线性相关的,(因为右边=0).函数中满足各阶导数线性相关的只有指数型函数,所以可假定其解为e^ax型,再用代入法代入化简,从而等价于一个比原方程简单得多的只关于a的普通方程,(即特征方程),其解就称为特征根.
建议楼主看一下数学专业的<常微分方程>一书,里面说得更具体....
全部展开
这个主要是齐次解的话解及其各阶导数就是线性相关的,(因为右边=0).函数中满足各阶导数线性相关的只有指数型函数,所以可假定其解为e^ax型,再用代入法代入化简,从而等价于一个比原方程简单得多的只关于a的普通方程,(即特征方程),其解就称为特征根.
建议楼主看一下数学专业的<常微分方程>一书,里面说得更具体.
收起