已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线c'=x^2/a^2-y^2/b^2=1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/11 11:15:36
![已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线c'=x^2/a^2-y^2/b^2=1](/uploads/image/z/8528437-37-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%85%B7%E6%9C%89%E6%80%A7%E8%B4%A8%EF%BC%9A%E8%8B%A5M%2CN%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E4%B8%8A%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%8E%9F%E7%82%B9%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E7%82%B9%2C%E7%82%B9P%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E5%BD%93%E7%9B%B4%E7%BA%BFPM%2CPN%E7%9A%84%E6%96%9C%E7%8E%87%E9%83%BD%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E5%B9%B6%E8%AE%B0%E4%B8%BAkPM%2CkPN%E6%97%B6%2C%E9%82%A3%E4%B9%88kPM%E4%B8%8EkPN%E4%B9%8B%E7%A7%AF%E6%98%AF%E4%B8%8E%E7%82%B9P%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E6%97%A0%E5%85%B3%E7%9A%84%E5%AE%9A%E5%80%BC.%E8%AF%95%E5%AF%B9%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BFc%27%3Dx%5E2%2Fa%5E2-y%5E2%2Fb%5E2%3D1)
已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线c'=x^2/a^2-y^2/b^2=1
已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线c'=x^2/a^2-y^2/b^2=1写出具体类似特性的性质,并加以证明.
已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线c'=x^2/a^2-y^2/b^2=1
相似地,对双曲线有:
若M,N分别是双曲线C’左右支上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意的一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
证明如下:
设M(X1,Y1)则N为(-X1,-Y1),设P(X,Y),则
kPM=(Y-Y1)÷(X-X1),kPN=(Y+Y1)÷(X+X1)则
kPM×kPN=(Y^2-Y1^2)÷(X^2-X1^2)
∵MNP三点均在曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上
∴Y^2=(X^2-a^2)b^2/a^2,
Y1^2=(X1^2-a^2)b^2/a^2
则Y^2-Y1^2=(X^2-X1^2)b^2/a^2
∴kPM×kPN=(Y^2-Y1^2)÷(X^2-X1^2)
=(X^2-X1^2)b^2/a^2÷(X^2-X1^2)
=b^2/a^2 为定值.