椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4(1)求证:PF1⊥PF2(2)若△OPF1的面积为3,求椭圆方程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/25 09:29:05
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4(1)求证:PF1⊥PF2(2)若△OPF1的面积为3,求椭圆方程
xW[OG+VV6x}kټPՖD]C$Tŕ\MpqH`H{~'~35.RT3~Μ9nZ~J7'F&4z7єz%W)k}>#kDs4,ʇ(İI:__P`ʧ'?/}Ġso˲vS P$~5~NdWM$ۣ$zt)H_1!YI(a=""=Wa{{z!s)[%h B YI2J0,ܫ@0xI[.)5ys^ZSu8l@|(T7[ẗAP/mA_]t2'7qf#lkl|u*n"*6KwY @sR@M``L[ rkυi/nRrޭf2w>T;2d?꿑*E@~A;ш 0Qc t"NNkG8DWN5 V:yh@8ûȔ pn#x,x_y "`ynē `5xޑF`X:F4oéʶ6y ZZr eӀ ƉVfbuά"6Ib77q8e>}r;vQf)D&#}-ˇiva3ty))2w'p-U{Z=C̲l4w~a& ܘM(8#6Wsky:Z3_7Lw~:@/Q7Oۤ

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4(1)求证:PF1⊥PF2(2)若△OPF1的面积为3,求椭圆方程
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,
P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4
(1)求证:PF1⊥PF2
(2)若△OPF1的面积为3,求椭圆方程

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,O为坐标原点,P为椭圆上一点,OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4(1)求证:PF1⊥PF2(2)若△OPF1的面积为3,求椭圆方程
根据两直线夹角公式,
tan<OPF2=(k2-k1)/(1+k1k2)
=(-3/4+24/7)/[1+(-24/7)*(-3/4)=3/4,
tan<PF2=-tan<PF2X=3/4,
∴〈OPF2=〈PF2O,
∴△OPF2是等腰△,
∴|OP|=|OF2|=|OF1|,
∴F1、P、F2是以O为圆心以半焦距为半径的圆上,
而F1F2是直径,
∴〈F1PF2=90°,即PF1⊥PF2.
2、〈F1OP=2〈PFO,(三角形外角等于不相邻二内角之和),
设〈OF2P=θ,是〈PF2X的补角,正切取正,
tanθ=3/4,secθ=√(1+9/16)=5/4,(锐角取正),
以cosθ=4/5,
sinθ=3/5,
sin2θ=2sinθcosθ=2*(3/5)*(4/5)=24/25,
S△POF1=|PO|*|OF1|*sin<POF1/2
=c^2*(24/25)/2=12c^2/25=3,
c^2=25/4,
c=5/2,
根据勾股定理,
PF1^2+PF2^2=F1F2^2,
(PF1+PF2)^2-2|PF1||PF2|=F1F2^2,
|PF1|+|PF2|=2a,
4a^2-2|PF1||PF2|=(5/2*2)^2=25,(1)
P点纵坐标,y0=OPsin2θ=(5/2)*(24/25)=12/5,
S△PF1F2=|F1F2|*y0/2=|PF1||PF2|/2,
5*12/5=|PF1||PF2|
|PF1||PF2|=12,
回到(1)式,4a^2-2*12=25,
4a^2=49,
a^2=49/4,
b^2=a^2-c^2=6
∴椭圆方程为:4x^2/49+y^2/6=1.

﹙1﹚设P﹙X,Y﹚,由OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4有Y/X=-24/7,Y/﹙X-C﹚=-3/4
解出X=﹙﹣7C﹚/25,Y=24C/25。又向量F1P=﹙X+C,Y﹚,F2P=﹙X-C,Y﹚所以
向量F1P乘以向量F2P=﹙X+C,Y﹚·﹙X-C,Y﹚=X^2﹣C^2+Y^2=0即PF1⊥PF2。
﹙2﹚由1有△OPF1的面积=OF1×|Y|÷2=C×...

全部展开

﹙1﹚设P﹙X,Y﹚,由OP、F2P的斜率分别为-24/7和-3/4有Y/X=-24/7,Y/﹙X-C﹚=-3/4
解出X=﹙﹣7C﹚/25,Y=24C/25。又向量F1P=﹙X+C,Y﹚,F2P=﹙X-C,Y﹚所以
向量F1P乘以向量F2P=﹙X+C,Y﹚·﹙X-C,Y﹚=X^2﹣C^2+Y^2=0即PF1⊥PF2。
﹙2﹚由1有△OPF1的面积=OF1×|Y|÷2=C×24C/25=3解出C=5/2,即P﹙﹣7/10,12/5﹚,然后将P带入椭圆方程求得a^2=49/4,b^2=6即椭圆方程为4x^2/49+y^2/6=1.

收起

1 设F1、F2坐标为(-c,0)(c,0) P(x,y)
根据斜率得到 y-c=-3/4x y= -24/7x
解得 x=-7c/25 y=24c/25
代入PF1的斜率k=y/(x+c) 得到 k=4/3 与PF2斜率-3/4互为倒数,所以两线垂直。
2 OPF1的底为c,高为P的纵坐标y,所以面积1/2cy=...

全部展开

1 设F1、F2坐标为(-c,0)(c,0) P(x,y)
根据斜率得到 y-c=-3/4x y= -24/7x
解得 x=-7c/25 y=24c/25
代入PF1的斜率k=y/(x+c) 得到 k=4/3 与PF2斜率-3/4互为倒数,所以两线垂直。
2 OPF1的底为c,高为P的纵坐标y,所以面积1/2cy=3 cy=6 把y=24c/25代入,c=5/2
x=-7/10 y=12/5 即为P点坐标,利用P点坐标和c的值即可求椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
且a^2=b^2+c^2
解方程组的活就留给你了,受累!

收起