设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B;O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求:(1)P的轨迹方程(2)|NP→|的最小值与最大值(向量的符号
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 20:04:35
![设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B;O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求:(1)P的轨迹方程(2)|NP→|的最小值与最大值(向量的符号](/uploads/image/z/8583720-24-0.jpg?t=%E8%AE%BE%E6%A4%AD%E5%9C%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%B8%BA%28x%5E2%29%2B%28y%5E2%29%2F4%3D1%2C%E8%BF%87%E7%82%B9M%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%BA%8EA%E3%80%81B%EF%BC%9BO%E6%98%AF%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E7%82%B9P%E6%BB%A1%E8%B6%B3OP%E2%86%92%3D1%2F2%28OA%E2%86%92%2BOB%E2%86%92%29%2C%E7%82%B9N%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B8%BA%281%2F2%2C1%2F2%29%2C%E5%BD%93l%E7%BB%95M%E6%97%8B%E8%BD%AC%E6%97%B6%2C%E6%B1%82%EF%BC%9A%281%29P%E7%9A%84%E8%BD%A8%E8%BF%B9%E6%96%B9%E7%A8%8B%282%29%7CNP%E2%86%92%7C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B8%8E%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%EF%BC%88%E5%90%91%E9%87%8F%E7%9A%84%E7%AC%A6%E5%8F%B7)
设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B;O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求:(1)P的轨迹方程(2)|NP→|的最小值与最大值(向量的符号
设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B;O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求:
(1)P的轨迹方程
(2)|NP→|的最小值与最大值
(向量的符号打不出来,在字母后面加了个箭头来表示向量)
设椭圆方程为(x^2)+(y^2)/4=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A、B;O是坐标原点,点P满足OP→=1/2(OA→+OB→),点N坐标为(1/2,1/2),当l绕M旋转时,求:(1)P的轨迹方程(2)|NP→|的最小值与最大值(向量的符号
(1).
直线L过M(0,1)
当直线L⊥x轴时:OA+OB=0,则OP=0,则P点为原点(0,0)
当直线L不垂直x轴时:设L斜率为k,则直线L方程为:y=kx+1
联立椭圆4x²+y²=4和直线y=kx+1,得:
4x²+k²x²+1+2kx=4,即(k²+4)x²+2kx-3=0
则x1+x2=-2k/(k²+4)
则y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=-2k²/(k²+4)+2=8/(k²+4)
OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2k/(k²+4),8/(k²+4))
则OP=1/2(OA+OB)=(-k/(k²+4),4/(k²+4))
即P点坐标为(-k/(k²+4),4/(k²+4))
令x=-k/(k²+4),y=4/(k²+4)
得:4x²+y²-y=0,即x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
此方程为中心在(0,1/2),长轴为1,短轴为1/2,交点在y轴的椭圆
动点P的轨迹方程为x²/(1/4)²+(y-1/2)²/(1/2)²=1
(2).
P点轨迹的参数方程为:x=1/4cosθ,y=1/2+1/2sinθ
则|PN|²=(x-1/2)²+(y-1/2)²
=(1/4cosθ-1/2)²+(1/2sinθ)²
=1/16cos²θ+1/4-1/4cosθ+1/4-1/4cos²θ (此处利用了sin²θ=1-cos²θ)
=-3/16cos²θ-1/4cosθ+1/2
=-3/16(cos²θ+4/3cosθ)+1/2
=-3/16(cosθ+2/3)²+7/12
∵cosθ∈[-1,1]
则cosθ+2/3∈[-1/3,5/3]
则(cosθ+2/3)²∈[0,25/9]
则-3/16(cosθ+2/3)²∈[-25/48,0]
则-3/16(cosθ+2/3)²+7/12∈[1/16,7/12]
即|PN|²∈[1/16,7/12]
则|PN|∈[1/4,√21/6]
即|NP|的最大值为√21/6,最小值为1/4